수학과 관련된 글
선형대수학 강의노트
선형대수학 강의노트 PDF 파일 내려받기 100페이지 남짓한 분량으로 훑어보는 선형대수학 노트입니다. 유클리드 공간에서 계산 중심으로 익혔던 개념을 추상화된 공간에서 재구성하고 확장한 내용을 담고 있습니다. 일반적인 벡터공간의 개념에서 시작하여 행렬과 선형변환,...
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해석학 강의노트
해석학 강의노트 PDF 파일 내려받기 (문제 해설 포함) 100페이지로 훑어보는 해석학 노트입니다. 거리공간에서의 극한, 무한급수와 실해석적 함수, 일변수함수와 다변수함수 미적분, 벡터장 적분 정리를 포함하고 있습니다. 미적분학에서 다룬 내용은 솎아내고, 가볍게...
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집합과 수리논리 첫걸음 (강의노트)
집합과 수리논리 첫걸음 PDF 파일 내려받기 (문제 해설 포함) 이 노트는 2025학년도 가을학기 ‘공리적 집합론과 수리논리학’ 수업의 강의노트로서, 집합론과 수리논리학의 핵심 개념을 입문 수준에서 개괄적으로 소개하는 내용을 담고 있습니다. 학습을...
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A Short Introduction to Lebesgue Integration
A Short Introduction to Lebesgue Integration.pdf This material was created for the 2024 Fall Semester Mathematics Teacher Professional Learning Community Seminar. It covers an overview of the concept of the...
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\(x\rightarrow 0+\)일 때 \(x^x\)의 극한 구하기 (두 가지 방법)
다음 극한을 구해 보자. \(\lim_{x\rightarrow 0+} x^x \) 이 극한은 직관적으로 구하기가 쉽지 않다. 왜냐하면 밑이 \(0\)일 때와 지수가 \(0\)일 때, 두 극한의 값 \(\lim_{x\rightarrow 0+} 0^x = 0 ,\,...
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테일러 다항식 근사를 사용한 무한급수 수렴 판정 예
무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \(\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \sin \frac{n+1}{n^2 - 5n + 4} \right ). \) \(n \rightarrow 0\)일 때 사인...
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포함-배제 원리의 응용: 교란순열, 오일러 함수
이 글에서는 포함-배제 원리의 응용으로서 교란 순열의 성질과 오일러 함수의 일반항을 살펴봅니다. 이 글은 Jiří Matoušek 교수님과 Jaroslav Nešetřil 교수님의 책 『Invitation to Discrete Mathematics』 2판 3.8절의 내용을 참고하여 작성하였습니다....
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포함-배제 원리의 세 가지 증명
이 글에서는 포함-배제 원리를 소개하고, 증명 방법 세 가지를 살펴봅니다. 이 글은 Jiří Matoušek 교수님과 Jaroslav Nešetřil 교수님의 책 『Invitation to Discrete Mathematics』 2판 3.7절의 내용을 참고하여 작성하였습니다. 포함-배제 원리...
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다변수함수의 극한 증명 예시
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \(f(x,\,y) = \sin x + \sin y\) 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon - \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점...
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라그랑주 승수법을 이용한 산술평균과 기하평균의 비교
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \(\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots...
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자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 무리수이다 (증명)
자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 \(1,\) \(0,\) \(i\)와 더불어 수학에서 가장 많이 사용되는 상수이다. \(\pi\)는 초등학교 과정에서 처음 등장하고 \(e\)는 고등학교 과정에서 처음 등장하는데, 중등학교 교육과정에서 이 두 상수가 무리수라는 사실은...
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역함수의 연속성
함수가 연속이라는 것은 직관적으로 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 것을 뜻한다. 그러므로 함수가 연속이고 역함수가 존재할 그 역함수의 그래프 또한 끊어지지 않고 이어져 있게 된다. 따라서 다음 정리를 얻는다....
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‘대수와 기하의 만남’ 영재수업 프레젠테이션
2019년에 제작한 영재수업 프레젠테이션 파일입니다. 수업 대상은 초등학교 6학년 ~ 중학교 2학년입니다. 01. 문자의 사용 02. 단항식과 다항식 03. 방정식 04. 함수의 그래프 05. 다항식의 계산 06. 그래프의 기울기 07....
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Common mistakes in the proofs of limits
The following is a few proofs of limits of functions. There are mistakes in the proofs. Can you find where the mistakes are? Can you fix them? Problem 1. Use...
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\(f(x) ^ {g(x)}\)의 도함수 구하기
두 실함수 \(f,\) \(g\)가 그들의 공통정의역에서 \(0\)보다 큰 값을 갖고 미분 가능하다고 하자. 이 때 \(h(x) = f(x)^{g(x)} \) 로 정의된 함수 \(h\)는 \(f\)와 \(g\)의 공통정의역에서 미분 가능하다. \(h\)의 도함수를...
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Stirling 공식을 이용한 무한급수 판정
문제. \(p\)가 양의 정수일 때 다음 거듭제곱급수의 수렴구간을 구하여라. (출처) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(pn)!}{(n!)^p} x^n \) 일단 수렴반경을 구하는 것은 어렵지 않다. \(a_n = \frac{(pn)!}{(n!)^p}\) 이라고 두고 비 판정 공식을...
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거듭제곱급수의 미분
맛있는 해석학 4판 정리 8.4.14에 거듭제곱급수의 미분을 다룬 정리가 소개되어 있다(245쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다. 정리. 거듭제곱급수의 미분. 거듭제곱급수 \(\sum a_n x^n\)의 수렴반경이 \(R...
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부등식을 이용한 무한급수의 수렴 판정
문제. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하여라. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} \right)^{k} \) \(k \leq...
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