수학과 관련된 글
A Short Introduction to Lebesgue Integration
A Short Introduction to Lebesgue Integration.pdf This material was created for the 2024 Fall Semester Mathematics Teacher Professional Learning Community Seminar. It covers an overview of the concept of the...
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\(x\rightarrow 0+\)일 때 \(x^x\)의 극한 구하기 (두 가지 방법)
다음 극한을 구해 보자. \(\lim_{x\rightarrow 0+} x^x \) 이 극한은 직관적으로 구하기가 쉽지 않다. 왜냐하면 밑이 \(0\)일 때와 지수가 \(0\)일 때, 두 극한의 값 \(\lim_{x\rightarrow 0+} 0^x = 0 ,\,...
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테일러 다항식 근사를 사용한 무한급수 수렴 판정 예
무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \(\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \sin \frac{n+1}{n^2 - 5n + 4} \right ). \) \(n \rightarrow 0\)일 때 사인...
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포함-배제 원리의 응용: 교란순열, 오일러 함수
이 글에서는 포함-배제 원리의 응용으로서 교란 순열의 성질과 오일러 함수의 일반항을 살펴봅니다. 이 글은 Jiří Matoušek 교수님과 Jaroslav Nešetřil 교수님의 책 『Invitation to Discrete Mathematics』 2판 3.8절의 내용을 참고하여 작성하였습니다....
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포함-배제 원리의 세 가지 증명
이 글에서는 포함-배제 원리를 소개하고, 증명 방법 세 가지를 살펴봅니다. 이 글은 Jiří Matoušek 교수님과 Jaroslav Nešetřil 교수님의 책 『Invitation to Discrete Mathematics』 2판 3.7절의 내용을 참고하여 작성하였습니다. 포함-배제 원리...
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다변수함수의 극한 증명 예시
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \(f(x,\,y) = \sin x + \sin y\) 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon - \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점...
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라그랑주 승수법을 이용한 산술평균과 기하평균의 비교
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \(\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots...
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자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 무리수이다 (증명)
자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 \(1,\) \(0,\) \(i\)와 더불어 수학에서 가장 많이 사용되는 상수이다. \(\pi\)는 초등학교 과정에서 처음 등장하고 \(e\)는 고등학교 과정에서 처음 등장하는데, 중등학교 교육과정에서 이 두 상수가 무리수라는 사실은...
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역함수의 연속성
함수가 연속이라는 것은 직관적으로 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 것을 뜻한다. 그러므로 함수가 연속이고 역함수가 존재할 그 역함수의 그래프 또한 끊어지지 않고 이어져 있게 된다. 따라서 다음 정리를 얻는다....
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‘대수와 기하의 만남’ 영재수업 프레젠테이션
2019년에 제작한 영재수업 프레젠테이션 파일입니다. 수업 대상은 초등학교 6학년 ~ 중학교 2학년입니다. 01. 문자의 사용 02. 단항식과 다항식 03. 방정식 04. 함수의 그래프 05. 다항식의 계산 06. 그래프의 기울기 07....
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Common mistakes in the proofs of limits
The following is a few proofs of limits of functions. There are mistakes in the proofs. Can you find where the mistakes are? Can you fix them? Problem 1. Use...
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\(f(x) ^ {g(x)}\)의 도함수 구하기
두 실함수 \(f,\) \(g\)가 그들의 공통정의역에서 \(0\)보다 큰 값을 갖고 미분 가능하다고 하자. 이 때 \(h(x) = f(x)^{g(x)} \) 로 정의된 함수 \(h\)는 \(f\)와 \(g\)의 공통정의역에서 미분 가능하다. \(h\)의 도함수를...
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Stirling 공식을 이용한 무한급수 판정
문제. \(p\)가 양의 정수일 때 다음 거듭제곱급수의 수렴구간을 구하여라. (출처) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(pn)!}{(n!)^p} x^n \) 일단 수렴반경을 구하는 것은 어렵지 않다. \(a_n = \frac{(pn)!}{(n!)^p}\) 이라고 두고 비 판정 공식을...
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거듭제곱급수의 미분
맛있는 해석학 4판 정리 8.4.14에 거듭제곱급수의 미분을 다룬 정리가 소개되어 있다(245쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다. 정리. 거듭제곱급수의 미분. 거듭제곱급수 \(\sum a_n x^n\)의 수렴반경이 \(R...
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부등식을 이용한 무한급수의 수렴 판정
문제. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하여라. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} \right)^{k} \) \(k \leq...
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느리게 발산하는 무한급수
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 은 양의 무한대로 발산하지만 그 속도는 대단히 느리다. 그 값이 \(100\)을 넘기기 위해 더해야 할 항의 개수는 무려 \(n \ge 15092688622113788323693563264538101449859497\) 이다(출처). 더 재미있는 사실은 \(p...
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조건부확률의 개념 (고등학교 과정)
조건부확률, 확률의 독립과 종속의 개념은 한 번 이해하고 나면 어렵지 않은 개념이다. 하지만 한 번 이해가 되지 않으면 정의를 아무리 여러 번 읽어도 이해하기가 어려운 개념이기도 하다. 여기서는 표를 이용하여...
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양수의 \(n\)제곱근의 존재성
맛있는 해석학 4판 참고 2.5.5에 양수의 \(n\)제곱근의 존재성이 증명되어 있다(56쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다. 정리. 양수의 \(n\)제곱근의 존재성. 임의의 양수 \(x\)와 자연수 \(n\)에 대하여...
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