Mathematics

문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \(f(x,\,y) = \sin x + \sin y\) 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon - \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점...

자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 \(1,\) \(0,\) \(i\)와 더불어 수학에서 가장 많이 사용되는 상수이다. \(\pi\)는 초등학교 과정에서 처음 등장하고 \(e\)는 고등학교 과정에서 처음 등장하는데, 중등학교 교육과정에서 이 두 상수가 무리수라는 사실은...

함수가 연속이라는 것은 직관적으로 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 것을 뜻한다. 그러므로 함수가 연속이고 역함수가 존재할 그 역함수의 그래프 또한 끊어지지 않고 이어져 있게 된다. 따라서 다음 정리를 얻는다....

두 실함수 \(f,\) \(g\)가 그들의 공통정의역에서 \(0\)보다 큰 값을 갖고 미분 가능하다고 하자. 이 때 \(h(x) = f(x)^{g(x)} \) 로 정의된 함수 \(h\)는 \(f\)와 \(g\)의 공통정의역에서 미분 가능하다. \(h\)의 도함수를...

맛있는 해석학 4판 정리 8.4.14에 거듭제곱급수의 미분을 다룬 정리가 소개되어 있다(245쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다. 정리.  거듭제곱급수의 미분. 거듭제곱급수 \(\sum a_n x^n\)의 수렴반경이 \(R...

문제. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하여라. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} \right)^{k} \) \(k \leq...

무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 은 양의 무한대로 발산하지만 그 속도는 대단히 느리다. 그 값이 \(100\)을 넘기기 위해 더해야 할 항의 개수는 무려 \(n \ge 15092688622113788323693563264538101449859497\) 이다(출처). 더 재미있는 사실은 \(p...

조건부확률, 확률의 독립과 종속의 개념은 한 번 이해하고 나면 어렵지 않은 개념이다. 하지만 한 번 이해가 되지 않으면 정의를 아무리 여러 번 읽어도 이해하기가 어려운 개념이기도 하다. 여기서는 표를 이용하여...

맛있는 해석학 4판 참고 2.5.5에 양수의 \(n\)제곱근의 존재성이 증명되어 있다(56쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다. 정리.  양수의 \(n\)제곱근의 존재성. 임의의 양수 \(x\)와 자연수 \(n\)에 대하여...