\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\tag{1}\] 여기서 등식이 성립할 필요충분조건은 \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\)인 것이다.
라그랑주 승수법(method of Lagrange's multiplier)을 이용하여 이것을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다.
만약 \(x_i\) 중에서 \(0\)인 것이 있으면 증명은 자명하게 끝난다. 그러므로 모든 \(x_i\)가 양수라고 가정하자. \[x = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}\tag{2}\] 이라고 하자. 그러면 \(x > 0\)이다. 다음으로 \[y_i = \frac{x_i}{x}\tag{3}\] 라고 하자. 그러면 \[y_1 y_2 \cdots y_n = 1\tag{4}\] 이다. 이제 양수 \(y_i\)에 대하여 함수 \(F\)와 \(G\)를 다음과 같이 정의하자. \[\begin{gather} F( y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n ) = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n},\\[8pt] G( y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n ) = y_1 y_2 \cdots y_n . \end{gather}\] 그리고 집합 \(K_1 ,\) \(K_2 \)를 각각 다음과 같이 정의하자. \[\begin{gather} K_1 = \left\{ (y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n ) \,\vert\, \lvert y_1 \rvert \le n ,\, \lvert y_2 \rvert \le n ,\,\cdots,\, \lvert y_n\rvert \le n \right\}, \\[8pt] K_2 = \left\{ (y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n ) \,\vert\, G(y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n ) = 1 \right\}. \end{gather}\] 이제 우리는 제약조건 \[G(y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\,y_n ) = 1\] 이 주어졌을 때 \(F\)의 최솟값을 구할 것이다. 이것은 집합 \(K_2\)에서 \(F\)의 최솟값을 구하는 것과 같다. 그런데 \(y_i\) 중에서 \(n\)보다 큰 것이 하나라도 존재한다면 \(F\)의 값은 \(1\)보다 커진다. 또한 모든 \(y_i\)의 값이 \(1\)일 때 \[F(1,\,1,\,\cdots,\,1) = 1\] 이므로 \(F\)의 최솟값은 \(1\) 이하이다. 그러므로 \(K_2\)에서 \(F\)의 최솟값을 구하는 것은 결국 \(K_1 \cap K_2\)에서 \(F\)의 최솟값을 구하는 것과 같다. 특히 \(K_1 \cap K_2\)는 유계이고 닫힌 집합이므로 \(F\)는 \(K_1 \cap K_2\)에서 반드시 최솟값을 가진다.
이제 라그랑주 승수법을 이용하자. \(F\)의 편도함수를 구하면 \[\frac{\partial F}{\partial y_i} = \frac{1}{n}\] 이며, \(G\)의 편도함수를 구하고 제약조건을 이용하여 변형하면 \[\frac{\partial G}{\partial y_i} = \frac{G(y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n )}{y_i} = \frac{1}{y_i}\] 이다. 그러므로 \(F\)가 최솟값을 갖는 점에서, 상수 \(\lambda\)가 존재하여 모든 \(i\)에 대하여 \[\frac{1}{n} = \lambda \frac{1}{y_i},\] 즉 \(y_i = n\lambda\)를 만족시킨다. 그런데 \(n\lambda\)는 상수이므로, 모든 \(i\)에 대하여 \(y_i\)는 같은 값이다. 따라서 \(F\)는 \[y_1 = y_2 = \cdots = y_n \] 인 점 \((y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n )\)에서 최솟값을 가진다. 만약 \[y_1 = y_2 = \cdots = y_n = 1\] 이면 \(F(y_1 ,\,y_2 ,\, \cdots ,\, y_n ) = 1\)이므로 \(1\)은 \(F\)의 최솟값이다. 끝으로 \[\begin{align} \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = x &\le x \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} \\[6pt] &= \frac{xy_1 + xy_2 + \cdots + xy_n}{n} \\[6pt] &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \end{align}\] 이므로 원하는 결론을 얻는다.
문제. 증명 과정에서 \(K_2\)가 닫힌 집합임을 증명해 보세요.