무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \sin \frac{n+1}{n^2 - 5n + 4} \right ). \tag{1}\] \(n \rightarrow 0\)일 때 사인 함수 안에 있는 분수식이 \(0\)에 수렴하고, \(x=0\) 근처에서 \(\sin x\)는 \(x\)와 비슷하게 움직이므로, 위 무한급수에서 사인을 그냥 없애고 판정해도 될 것 같다. 즉 위 무한급수의 수렴 여부는 \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{n+1}{n^2 -5n +4} \right)\] 의 수렴 여부와 같을 것 같다. 이렇게 두고 판정해 보면 결과가 ‘수렴’이 나오기는 한다. 그러나 마음대로 사인을 없애고 판정하면 안 되니, 이런 결과는 믿을 수가 없다.
우리는 테일러 다항식 근사를 사용하여 사인 함수를 변형하는 방법을 통해 무한급수 (1)의 수렴을 판정할 것이다. 사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다. \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + - \cdots .\] 이 등식에서 우변의 무한급수는 임의의 실수 \(x\)에 대하여 좌변에 수렴한다. 그러므로, 만약 \(x \ge 0\)이라면, 교대급수의 성질에 의하여 다음과 같은 부등식을 얻는다. \[\begin{aligned} \sin x & \le x , \\[6pt] \sin x & \ge x - \frac{x^3}{3!} , \\[6pt] \sin x & \le x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} , \\[6pt] \sin x & \ge x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} , \\[6pt] \, & \,\, \vdots \end{aligned}\] 즉 \(x \ge 0\)일 때 \[ x - \frac{x^3}{3!} \le \sin x \le x \] 이다. 이 부등식에 \[x = \frac{n+1}{n^2 -5n +4}\] 를 대입하면, \(n\)이 \(n \ge 5\)인 자연수일 때 \[ \frac{n+1}{n^2 -5n +4} - \frac{n+1}{6\left( n^2 -5n +4 \right) } \le \sin \left( \frac{n+1}{n^2 -5n +4} \right) \le \frac{n+1}{n^2 -5n +4} \] 즉 \[ \frac{1}{n} - \frac{n+1}{n^2 -5n +4} \le \frac{1}{n} - \sin \left( \frac{n+1}{n^2 -5n +4} \right) \le \frac{1}{n} - \frac{n+1}{n^2 -5n +4} + \frac{1}{6} \left\{ \frac{n+1}{\left( n^2 -5n +4 \right) }\right\}^3 \] 을 얻는다. 이 부등식의 가운데에 있는 식을 \(a_n\)이라고 쓰고, 처음 식과 마지막 식을 변형하면 \[ \frac{(n^2 - 5n +4) -n(n+1)}{n( n^2 -5n +4 )} \le a_n \le \frac{(n^2 - 5n +4) -n(n+1)}{n( n^2 -5n +4 )} + \frac{1}{6} \left\{ \frac{n+1}{\left( n^2 -5n +4 \right) }\right\}^3 \] 즉 \[ \frac{ -6n +4 }{n^3 - 5n^2 + 4n} \le a_n \le \frac{6(-6n+4)(n^2 - 5n+4)^2 + n(n+1)^3}{ 6n(n^2 -5n +4)^3} \] 을 얻는다. 이 부등식에서 가장 마지막 식을 살펴보자. 이 식의 분자와 분모는 각각 \(n\)에 대한 다항식이다. 분자는 최고차항이 \(-36n^5\)이며, 분모는 최고차항이 \(6n^7\)이다. 그러므로 \(n\)의 값이 충분히 클 때, 마지막 식은 음수이다. 즉 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n \ge N\)인 모든 \(n\)에 대하여 \[ \frac{ -6n +4 }{n^3 - 5n^2 + 4n} \le a_n \le \frac{6(-6n+4)(n^2 - 5n+4)^2 + n(n+1)^3}{ 6n(n^2 -5n +4)^3} \le 0\] 이다. 이 부등식으로부터, \(n \ge N\)일 때 \[\frac{ -6n +4 }{n^3 - 5n^2 + 4n} \le a_n \le 0\] 즉 \[0 \le -a_n \le \frac{ 6n -4 }{n^3 - 5n^2 + 4n} \tag{2}\] 을 얻는다. \[b_n = \frac{ 6n -4 }{n^3 - 5n^2 + 4n} ,\quad c_n = \frac{1}{n^2} \] 이라고 하면 \(n \ge 5\)일 때 \(b_n \ge 0 ,\) \(c_n > 0\)이고 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_n}{c_n} = 6\] 이며, \(\sum_{n=N}^{\infty} c_n\)이 수렴하므로(∵ \(p=2\)인 \(p\)급수), 극한비교판정법에 의하여 \(\sum_{n=N}^{\infty} b_n \)도 수렴한다. 그러므로 부등식 (2)와 직접비교판정법에 의하여 \[\sum_{n=N}^{\infty} (-a_n)\] 도 수렴한다. 수렴하는 무한급수의 모든 항의 부호를 바꾼 무한급수가 수렴하고, 수렴하는 무한급수에 유한 개의 항을 추가하거나 수렴하는 무한급수에서 유한 개의 항을 제거한 무한급수도 수렴하므로 \[\sum_{n=5}^{\infty} a_n\] 도 수렴한다.