문제. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하여라.
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} \right)^{k} \tag{1} \]\(k \leq 0\)일 때 문제의 무한급수가 발산함은 자명하다. 그러므로 \(k > 0\)인 경우만 살펴보자. 먼저 다음 부등식을 증명하자.
자연수 \(n\)에 대하여 \[\begin{align} L_n &= \frac{1}{2\sqrt{n}} , \\[10pt] a_n &= \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} , \\[8pt] R_n &= \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \end{align}\] 이라고 하자. 그러면 (2)는 \[L_n \leq a_n \leq R_n \tag{3}\] 으로 나타낼 수 있다. 먼저 \(a_n \leq R_n\)을 증명하자. \(n=1\)일 때 \[a_1 = \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = R_1\] 이므로 \(a_1 \leq R_1\)이 성립한다. 다음으로 \(n=k\)일 때 \(a_n \leq R_n\)이 성립한다고 가정하자. 그러면 \[\begin{align} a_{k+1} &= a_k \times \frac{2k+1}{2k+2} \\ & \leq R_k \times \frac{2k+1}{2k+2} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3k+1}} \times \frac{2k+1}{2k+2} \tag{4} \end{align}\] 이 성립한다. 한편 자연수 \(k\)에 대하여 다음 부등식은 모두 동치이다. \[ 0 \leq k \\[10pt] 12k^3 + 28k^2 + 19k +4 \leq 12k^3 + 28k^2 + 20k +4 \\[10pt] (2k+1)^2 (3k+4) \leq (2k+2)^2 (3k+1) \\[10pt] (2k+1)\sqrt{3k+4} \leq (2k+2)\sqrt{3k+1} \\[10pt] \frac{1}{\sqrt{3k+1}} \times \frac{2k+1}{2k+2} \leq \frac{1}{\sqrt{3k+4}} \] 여기서 첫 부등식이 참이므로 마지막 부등식도 참이다. 따라서 마지막 부등식과 (4)를 결합하면 \[ a_{k+1} \leq \frac{1}{\sqrt{3k+1}} \times \frac{2k+1}{2k+2} \leq R_{k+1} \] 을 얻는다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \leq R_n\)이 성립한다.
이제 (3)의 왼쪽 부등식 \(L_n \leq a_n\)을 증명하자. 이번에도 수학적 귀납법을 이용하자. \(n=1\)일 때 \[L_1 = \frac{1}{2} = a_1\] 이므로 \(L_1 \leq a_1\)이 성립한다. 다음으로 \(n=k\)일 때 \(L_n \leq a_n\)이 성립한다고 가정하자. 그러면 \[L_k \times \frac{2k+1}{2k+2} \leq a_k \times \frac{2k+1}{2k+2} = a_{k+1} \tag{5}\] 을 얻는다. 한편 자연수 \(k\)에 대하여 다음 부등식은 모두 동치이다. \[ 0 \leq n+1 \\[10pt] 4n^3 + 8n^2 +4n \leq 4n^3 + 8n^2 +5n +1 \\[10pt] (2n+2)^2 n \leq (2n+1)^2 (n+1) \\[10pt] (2n+2) \sqrt{n} \leq (2n+1) \sqrt{n+1} \\[10pt] \frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} \times \frac{2n+1}{2n+2} \] 여기서 첫 부등식이 참이므로 마지막 부등식도 참이다. 따라서 마지막 부등식과 (5)를 결합하면 \[L_{k+1} \leq L_k \times \frac{2k+1}{2k+2} \leq a_{k+1}\] 을 얻는다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(L_n \leq a_n\)이 성립한다.
이제 문제의 풀이를 해보자. \(k > 0\)일 때 (2)에 의하여 \[\left( \frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^k \leq \left( \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} \right)^{k} \leq \left( \frac{1}{\sqrt{3n}}\right)^k\] 이다. 그런데 \(p\)-급수 판정법에 의하여, \(k \leq 2\)일 때 \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2\sqrt{n}} \right)^k\] 은 발산하고, \(k > 2\)일 때 \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{3n}}\right)^k\] 은 수렴한다. 그러므로 비교 판정법에 의하여 \(k > 2\)일 때 (1)은 수렴하고 \(k \leq 2\)일 때 (1)은 발산한다.