두 실함수 \(f,\) \(g\)가 그들의 공통정의역에서 \(0\)보다 큰 값을 갖고 미분 가능하다고 하자. 이 때 \[h(x) = f(x)^{g(x)} \tag{1}\] 로 정의된 함수 \(h\)는 \(f\)와 \(g\)의 공통정의역에서 미분 가능하다. \(h\)의 도함수를 구해보자.
로그 미분법을 이용하는 방법
등식 \(h(x) = f(x)^{g(x)}\)의 양변에 자연로그를 취하면 \[\ln h(x) = g(x) \ln f(x)\] 이다. 양변을 미분하면 \[\frac{h ' (x)}{h(x)} = g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)}\] 를 얻는다. 그러므로 \[h ' (x) = h(x) \left[ g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)} \right]\] 즉 \[h ' (x) = f(x)^{g(x)} \left[ g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)} \right]\tag{2}\] 를 얻는다.
지수를 바꾸는 방법
(1)을 변형하면 \[h(x) = \exp \left( \ln f(x)^{g(x)} \right) = \exp \left( g(x) \ln f(x) \right )\tag{3}\] 이므로 \[h' (x) = \exp \left( g(x) \ln f(x) \right ) \cdot \left[ g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)} \right]\tag{4}\] 이다. 이 식에서 \(\exp \left( g(x) \ln f(x) \right )\)를 \({f(x)}^{g(x)}\)로 바꾸면 (2)와 동일한 식을 얻는다.
다변수함수의 연쇄법칙을 이용하는 방법
\(s=x,\) \(t=x\)라고 하고 \[\phi (s,\,t) = f(s)^{g(t)}\] 라고 하자. 그러면 \(h(x) = \phi(s,\,t)\)이므로 \[\begin{align} \frac{dh}{dx} &= \frac{d \phi}{dx} = \frac{\partial \phi}{\partial s} \frac{d s}{d x} + \frac{\partial \phi}{\partial t} \frac{d t}{d x} \\[8pt] &= g(t) f(s)^{g(t) -1} f ' (s) \cdot 1 + f(s)^{g(t)} \ln f(s) \cdot g ' (t) \cdot 1 \\[6pt] &= g(t) f(s)^{g(t) } \frac{f ' (s)}{f(s)} + f(s)^{g(t)} \ln f(s) \cdot g ' (t) \\[4pt] &= {f(s)}^{g(t)} \left[ \frac{f ' (s) g(t)}{f(s)} + \ln f(s) \cdot g' (t) \right] \tag{5} \end{align}\] 이다. 이 식에서 \(s\)와 \(t\)를 \(x\)로 바꾸면 (2)와 동일한 식을 얻는다.
주의사항
로그 미분법은 \(h\)의 미분 가능성을 가정한 채로 사용한다. 반면 지수를 바꾸는 방법과 다변수함수의 연쇄법칙을 이용하는 방법은 그 자체로서 \(h\)의 미분 가능성도 보장된다.