테일러 다항식 근사를 사용한 무한급수 수렴 판정 예
무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \(\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \sin \frac{n+1}{n^2 - 5n + 4} \right ). \) \(n \rightarrow 0\)일 때 사인...
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미적분학 첫걸음
‘미적분학 첫걸음’은 미적분학을 처음 공부하는 사람을 대상으로 하는 교재입니다. 이 교재는 다음과 같은 용도로 사용하기에 적절합니다. 영재학교 미적분학 수업 교재 상급 과정 수학을 공부하기 전에 고등학교 과정과 학부 1학년 과정의...
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가볍게 살펴보는 미분과 적분
교재 가볍게 살펴보는 미분과 적분.pdf (최종수정 2021년 4월 12일) 이 교재는 미적분의 기본 개념과 계산법, 그리고 간단한 응용 문제를 담고 있습니다. 다항함수, 분수함수, 무리함수의 미분법과 적분법을 담고 있으며 수열의 극한과...
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다변수함수의 극한 증명 예시
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \(f(x,\,y) = \sin x + \sin y\) 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon - \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점...
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라그랑주 승수법을 이용한 산술평균과 기하평균의 비교
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \(\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots...
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역함수의 연속성
함수가 연속이라는 것은 직관적으로 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 것을 뜻한다. 그러므로 함수가 연속이고 역함수가 존재할 그 역함수의 그래프 또한 끊어지지 않고 이어져 있게 된다. 따라서 다음 정리를 얻는다....
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\(f(x) ^ {g(x)}\)의 도함수 구하기
두 실함수 \(f,\) \(g\)가 그들의 공통정의역에서 \(0\)보다 큰 값을 갖고 미분 가능하다고 하자. 이 때 \(h(x) = f(x)^{g(x)} \) 로 정의된 함수 \(h\)는 \(f\)와 \(g\)의 공통정의역에서 미분 가능하다. \(h\)의 도함수를...
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