Tag: 해석학

맛있는 해석학 4판 정리 8.4.14에 거듭제곱급수의 미분을 다룬 정리가 소개되어 있다(245쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다. 정리.  거듭제곱급수의 미분. 거듭제곱급수 \(\sum a_n x^n\)의 수렴반경이 \(R...

문제. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하여라. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} \right)^{k} \) \(k \leq...

무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 은 양의 무한대로 발산하지만 그 속도는 대단히 느리다. 그 값이 \(100\)을 넘기기 위해 더해야 할 항의 개수는 무려 \(n \ge 15092688622113788323693563264538101449859497\) 이다(출처). 더 재미있는 사실은 \(p...

맛있는 해석학 4판 참고 2.5.5에 양수의 \(n\)제곱근의 존재성이 증명되어 있다(56쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다. 정리.  양수의 \(n\)제곱근의 존재성. 임의의 양수 \(x\)와 자연수 \(n\)에 대하여...

\(a\)와 \(b\)가 실수이고 \(a < b\) 이며 \([a,\, b]\)에 르베그 측도가 주어졌다고 하자. 그리고 \(f\)가 \([a,\, b]\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 함수라고 하자. 이때 다음 명제가 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 들어라. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서...