\(V,\) \(W\)가 벡터공간이고 \(f : V \to W\)가 함수라고 하자. 만약 \(f\)가 임의의 스칼라 \(a\)와 벡터 \(x,\) \(y\)에 대하여 \[f(ax+y) = a f(x) + f(y) \]를 만족시키면 \(f\)를 선형사상이라고 부른다. \(\mathbb{R}\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 연속선형사상은 모두 \(f(x) = ax\) 꼴이다. 유클리드 공간 사이의 선형사상, 즉 \(\mathbb{R}^m\)으로부터 \(\mathbb{R}^n\)으로의 연속선형사상은 모두 \(f(x) = Ax \) 꼴이다. 여기서 \(A\)는 \(n\times m\) 행렬이다.
그렇다면 \(V,\) \(W\)가 일반적인 벡터공간일 때에도 \(V\)로부터 \(W\)로의 선형사상은 모두 \(f(x) = Ax\) 꼴로 나타낼 수 있을까? 이것에 대한 해답이 Riesz의 표현 정리이다.
Riesz의 표현 정리. \(H\)가 체 \(F\) 위에서의 Hilbert 공간이고 \(L : H \to F\)가 유계선형범함수라고 하자. 그러면 \(H\)에서의 벡터 \(h_0\)이 유일하게 존재하여 임의의 \(h\in H\)에 대하여 \(L(h) = \left < h, h_0 \right > \)을 만족시킨다. 더욱이 \(\Vert L \Vert = \Vert h_0 \Vert\)이 성립한다.
증명. \(M = \ker (L)\)이라고 하자. \(L\)이 연속이므로 \(M\)은 \(H\)의 닫힌 선형부분공간이다. 일반성을 잃지 않고 \(M \ne H\)라고 하자. 그러면 \(M ^\bot \ne (0)\)이다. 따라서 \(M^\bot\)에 속하는 벡터 \(f_0\)이 존재하여 \(L(f_0 ) = 1\)을 만족시킨다.
만약 \(h\in H\)이고 \(c = L(h) \)이면 \(L(h - cf_0 ) = L(h) - c = 0\)이므로 \(h - L(h) f_0 \in M\)이다. 따라서 다음이 성립한다. \[0 = \left < h - L(h) f_0 ,~ f_0 \right > = \left < h ,~ f_0 \right > - L(h) \Vert f_0 \Vert ^2\]그러므로 \(h_0 = \Vert f_0 \Vert - 2 f_0 \)일 때 임의의 \(h\in H\)에 대하여 \(L(h) = \left < h ,~ h_0 \right > \)이 성립한다.
만약 \(h_0 ' \in H\)이고 임의의 \(h\)에 대하여 \( \left < h ,~ h_0 \right > = \left < h , ~ h_ 0 ' \right > \)이면 \(h_0 - h_0 ' \bot H \)이다. 특히 \(h_0 - h_0 ' \bot h_0 - h_0 ' \)이므로 \(h_0 ' = h_0 \)이다. 그러므로 \( \Vert L \Vert = \Vert h_0 \Vert\)이 성립한다.