테일러 다항식 근사를 사용한 무한급수 수렴 판정 예
무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \(\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \sin \frac{n+1}{n^2 - 5n + 4} \right ). \) \(n \rightarrow 0\)일 때 사인...
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Stirling 공식을 이용한 무한급수 판정
문제. \(p\)가 양의 정수일 때 다음 거듭제곱급수의 수렴구간을 구하여라. (출처) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(pn)!}{(n!)^p} x^n \) 일단 수렴반경을 구하는 것은 어렵지 않다. \(a_n = \frac{(pn)!}{(n!)^p}\) 이라고 두고 비 판정 공식을...
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부등식을 이용한 무한급수의 수렴 판정
문제. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하여라. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times (2n)} \right)^{k} \) \(k \leq...
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느리게 발산하는 무한급수
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 은 양의 무한대로 발산하지만 그 속도는 대단히 느리다. 그 값이 \(100\)을 넘기기 위해 더해야 할 항의 개수는 무려 \(n \ge 15092688622113788323693563264538101449859497\) 이다(출처). 더 재미있는 사실은 \(p...
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