맛있는 해석학 4판 정리 8.4.14에 거듭제곱급수의 미분을 다룬 정리가 소개되어 있다(245쪽). 증명을 이해하는 데에 도움이 되도록 이곳에 더 상세한 설명을 남긴다.
정리. 거듭제곱급수의 미분.
거듭제곱급수 \(\sum a_n x^n\)의 수렴반경이 \(R > 0\)이면 \(x\in (-R ,\, R)\)에 대하여 \[\frac{d}{dx} \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{d}{dx} a_n x^n \right)\tag{1}\] 이 성립한다.
위 정리를 증명하기 위해서는 다음과 같은 보조정리가 필요하다.
보조정리. 균등수렴과 미분 가능성 (맛있는 해석학 정리 8.1.17)
\(\left\{ f_n \right\}\)이 \([a,\,b]\) 위에서의 함수열이고 임의의 \(n\)에 대하여 \(f_n\)이 미분 가능하며 \(f_n ' \)이 적분 가능하다고 하자. 또한 \(c\in [a,\,b]\)가 존재하여 \(\left\{ f_n (c)\right\}\)가 수렴하며 \(\left\{ f_n ' \right\}\)이 연속인 함수 \(g\)에 균등수렴한다고 하자. 이때 \(\left\{f_n \right\}\)은 미분 가능한 함수에 균등수렴하며 \(f ' = g\)가 성립한다.
보조정리의 증명은 생략하고 거듭제곱급수의 미분 정리만 살펴보자.
정리의 증명. 먼저 (1)의 수렴반경이 \(R\) 이상임을 보이자. 즉 임의의 \(c\in (-R ,\,R)\)에 대하여 \(x=c\)일 때 (1)이 수렴함을 보이자. \(c\in (-R ,\,R)\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(|c| < d < R\)인 양수 \(d\)를 택하고 \(r = |c/d|\)라고 하자. \(0 \le r < 1\)이므로 \(n \to \infty\)일 때 \(nr^{n-1} \to 0\)이다. 따라서 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때마다 \(nr^{n-1} \le 1\)을 만족시킨다. 동일한 자연수 \(N\)과 \(n > N\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \[\left\lvert na_n c^{n-1} \right\rvert = \left\lvert na_n (dr)^{n-1} \right\rvert = \left\lvert a_n d^{n-1} \right\rvert nr^{n-1} \le \left\lvert a_n d^{n-1} \right\rvert\] 이므로 무한급수의 수렴에 대한 비교 판정법에 의하여 \(\sum na_n c^{n-1}\)은 절대수렴한다. 여기서 \(c\)는 \(c\in (-R ,\,R)\)인 임의의 점이므로 \(\sum na_n x^{n-1}\)은 \((-R,\,R)\)에서 수렴한다. 즉 \(\sum na_n x^{n-1}\)의 수렴반경은 \(R\) 이상이다.
이제 \(x\in (-R ,\,R)\)에 대하여 \[\begin{align} f(x) & := \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n ,\\ f_n (x) & := \sum_{k=0}^{n} a_k x^k , \\ g(x) & := \sum_{n=1}^{\infty} ka_k x^{k-1} \end{align}\] 이라고 하자. 그리고 \(-R < a < x < b < R\)인 점 \(a,\) \(b\)를 택하자. 그러면 \([a,\,b]\)에서 \(f_n '\)은 연속이고 \(f_n \rightrightarrows f ,\) \(f_n ' \rightrightarrows g\)이다. 그러므로 보조정리에 의하여 \(f ' = g\)가 성립한다. 즉 \[\begin{align} \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) &= f ' (x) \\ &= g(x) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\infty} ka_k x^{k-1} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{d}{dx} a_n x^n \right) \end{align}\] 이 성립한다.