\(a\)와 \(b\)가 실수이고 \(a < b\) 이며 \([a,\, b]\)에 르베그 측도가 주어졌다고 하자. 그리고 \(f\)가 \([a,\, b]\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 함수라고 하자. 이때 다음 명제가 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 들어라.
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 르베그 적분 가능할 필요충분조건은 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능한 함수 \(g\)가 존재하여 \(\left\{ x \in [a,\, b] \,\vert\, f(x) \neq g(x) \right\}\)의 측도가 \(0\)인 것이다.
즉 직관적으로 표현하면 "르베그 적분 가능한 함수는 리만 적분 가능한 함수와 기껏해야 측도 \(0\)인 집합 위에서만 차이난다"는 것이다.
만약 위 문제의 반례를 제시했다면, 다음 진술의 참 또는 거짓 여부를 밝혀라.
\(a\)와 \(b\)가 실수이고 \(a < b\) 이며 \([a,\,b]\)에 르베그 측도가 주어졌다고 하자. 그리고 \(f\)가 \([a,\,b]\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 함수라고 하자. \([a,\,b]\)에서 르베그 적분 가능하면서, 그 어떤 리만 적분 가능한 함수와도 거의 모든 점에서 동일하지 않은 함수의 존재성은 선택 공리와 동치이다.