르베그 적분은 리만 적분과 마찬가지로 선형성을 가진다. 하지만 르베그 적분은 리만 적분과는 다른 유용한 성질도 가지고 있다. 르베그 적분의 성질을 나타내는 중요한 정리는 보통 3개를 꼽을 수 있다. 바로 '단조수렴 정리', '파토우(Fatou)의 보조정리', '지배수렴 정리'이다.
먼저 단조수렴 정리부터 살펴보자.
정리 1. (단조수렴) \((X,~\mathfrak{M} ,~ \mu )\)가 측도공간이고 자연수 \(n\)에 대하여 \(f_n : X \to [0,~\infty ]\)가 가측함수이며 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(f\)에 점별수렴하고 \(f_n \le f_{n+1}\)이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\int_X ~ f ~ d \mu = \int_X \left( \lim_{n\to\infty} f_n \right) d \mu = \lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \]
증명. \(f_n\)이 가측함수이고 \(\left\{f_n \right\}\)이 \(f\)에 증가수렴하므로 \(f\)도 가측함수이다. 또한 \(\left\{ f_n \right\}\)이 증가수열이고 \(f\)에 의하여 위로 유계이므로 \(\left\{ f_n \right\}\)의 적분은 증가하는 실수열이고 \(f\)의 적분에 의하여 위로 유계이다. 따라서 다음 부등식이 성립한다. \[\lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \le \int_X ~ f ~ d \mu\] 이제 부등식이 반대로 성립함을 보이자. \(0 < t < 1\)인 실수 \(t\)를 택하자. 그리고 \(0 \le \varphi \le f\)인 가측단순함수 \(\varphi\)에 대하여 \[A_n := \left\{ x ~|~ f_n (x) \ge t \varphi (x) \right\}\] 라고 하자. 그러면 명백히 \(\left\{ A_n \right\}\)은 증가수열이다. 이제 \(A_n \)들의 합집합이 \(X\)와 같음을 보이자.
만약 \(\varphi (x) =0\)인 \(x \in X \)가 존재하면 임의의 \(n\)에 대하여 \(x\in A_n \)이다.
\(\varphi (x) > 0\)인 경우에는 \[f(x) \ge \varphi (x) > t \varphi (x) \]이므로 \(f_n (x) \ge t \varphi (x) \)인 \(n\)이 존재한다. 즉 \(x\in A_n \)이다.
\(X\)의 부분집합 중에서 \(\mu\)-가측인 임의의 집합 \(E\)에 대하여 \[\nu (E) := \int_E ~ t \varphi ~ d \mu = t \sum_{k=1}^{m} ~ y_k ~ \mu \left( E \cap E_k \right) , \] \[ \varphi := \sum_{k=1}^{m} ~ y_k ~\chi_{E_k } ~,~~ ~ y_k \ge 0 \] 이라고 하자. 그러면 \(\nu\)는 \(X\)의 측도가 된다. 따라서 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ t \varphi ~ d \mu &=& \nu (X) = \nu \left( \sum_{n=1}^{\infty} A_n \right) \\ &=& \lim_{n\to\infty} \nu \left( A_n \right) \\ &=& \lim_{n\to\infty} \int_{A_n} ~ t \varphi ~ d \mu \\ & \le & \lim_{n\to\infty} \int _{A_n} ~ f_n ~ d \mu \\ & \le & \lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \end{eqnarray} \] 이므로 \[t \int_X ~ \varphi ~ d \mu \le \lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \] 이다. 여기에 \(t \to 1- \)인 극한을 취하면 \[\int_X ~ \varphi ~ d \mu \le \lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \] 를 얻는다. \(\varphi\)는 \(1 \le \varphi \le f \)인 임의의 가측단순함수이므로 르베그 적분의 정의에 의하여 \[\int_X ~ f ~ d \mu \le \lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \] 를 얻는다.
단조수렴 정리는 르베그 적분의 다양한 성질을 증명할 때에 유용하게 사용된다.
정리 2. (르베그 적분의 선형성) \((X,~ \mathfrak{M} ,~ \mu )\)가 측도공간이고 \(f\)와 \(g\)가 \(X\)로부터 \(\tilde{\mathbb{R}}\)로의 가측함수일 때 다음이 성립한다. \[\begin{eqnarray} \text{(i)} &~& \int_X ~ f+g ~ d \mu = \int_X ~ f ~ d \mu + \int_X ~ g ~ d \mu \\ \text{(ii)} &~& \int_X ~ cf ~ d \mu = c \int_X ~ f ~ d \mu \end{eqnarray} \] 단, (ⅰ)은 우변이 \(\infty - \infty\) 꼴이 아닐 때에만 성립하며, (ⅱ)에서 \(c\)는 실수인 상수이다.
증명. (ⅰ) 먼저 \(f \ge 0, \) \(g \ge 0\)인 경우를 증명하자. [르베그 적분의 개념]의 [참고 9]에 의하여 음의 값을 갖지 않는 가측단순함수열 \(\left\{ \varphi _n \right\} ,\) \(\left\{ \psi _n \right\}\)이 존재하여 \[\varphi _n \le \varphi _{n+1} , ~~ \psi_n \le \psi_{n+1}\] 그리고 \[\varphi _n ~\to~ f ,~~ \psi _n ~\to~ g \] 를 만족시킨다. 이때 \[\varphi _n + \psi _n \le \varphi_{n+1} + \psi_{n+1}\] 그리고 \[\varphi _n + \psi _n ~\to~ f+g \] 이므로 단조수렴 정리와 [르베그 적분의 개념]의 [따름정리 7]에 의하여 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ f+g ~ d \mu &=& \lim_{n\to\infty} \int_X ~ \varphi _n + \psi _n ~ d \mu \\ &=& \lim_{n\to\infty} \left( \int_X ~ \varphi_n ~ d \mu + \int_X ~ \psi _n ~ d \mu \right) \\ &=& \lim_{n\to\infty} \int_X ~ \varphi_n ~ d \mu + \lim_{n\to\infty} \int_X ~ \psi_n ~ d \mu \\ &=& \int_X ~ f ~ d \mu + \int_X ~ g ~ d\mu \end{eqnarray} \] 가 성립한다.
다음으로 \(f\)와 \(g\)의 함숫값이 음수도 될 수 있다고 하자. 그리고 \(h := f+g \)라고 하자. 그러면 \( h^+ = f^+ + g^+ ,\) \(h^- = f^- + g^- \)이므로 \[ \begin{eqnarray} \int_X ~ f+g ~ d \mu &=& \int_X ~ h ~ d \mu \\ &=& \int_X ~ h^+ ~ d \mu - \int_X ~ h^- ~ d \mu \\ &=& \left( \int_X ~ f^+ ~ d \mu + \int_X ~ g^+ ~ d \mu \right) - \left( \int_X ~ f^- ~ d \mu + \int_X ~ g^- ~ d \mu \right) \\ &=& \left( \int_X ~ f^+ ~ d \mu - \int_X ~ f^- ~ d \mu \right) + \left( \int_X ~ g^+ ~ d \mu - \int_X ~ g^- ~ d \mu \right) \\ &=& \int_X ~f~ d \mu + \int_X ~ g ~ d \mu \end{eqnarray} \] 를 얻는다.
(ⅱ) 먼저 \(f \ge 0, \) \(c \ge 0\)인 경우를 증명하자. [르베그 적분의 개념]의 [정리 9]에 의하여 가측단순함수열 \(\left\{ \varphi _n \right\}\)이 존재하여 \(\varphi _n \le \varphi_{n+1}\)이고 \(\varphi _n \to f \)를 만족시킨다. 그러면 \(c \varphi _n \le c \varphi _{n+1}\)이고 \(c \varphi _n \to c f \)이므로 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ cf ~ d \mu &=& \lim_{n\to\infty} \int_X ~ c \varphi_n ~ d \mu \\ &=& \lim_{n\to\infty} c \int_X ~ \varphi _n ~ d \mu \\ &=& c \lim_{n\to\infty} \int_X ~ \varphi _n ~ d \mu \\ &=& c \int_X ~ f ~ d \mu \end{eqnarray} \] 가 성립한다. 다음으로 \(c \ge 0\)이지만 \(f\)는 음의 값도 가진다고 하자. 그러면 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ cf ~ d \mu &=& \int_X ~ (cf)^+ ~ d \mu - \int_X ~ (cf)^- ~ d \mu \\ &=& \int_X ~ cf^+ ~ d \mu - \int_X ~ cf^- ~ d \mu \\ &=& c \int_X ~ f^+ ~ d \mu - c \int_X ~ f^- ~ d \mu \\ &=& c \left( \int_X ~ f^+ ~ d \mu - \int_X ~ f ^- ~ d \mu \right ) \\ &=& c \int_X ~ f ~ d \mu \end{eqnarray} \] 가 성립한다. 끝으로 \(c < 0\)인 경우에는 \(cf = (-c)(-f)\)이고 \(-c > 0\)이므로 \[ \begin{eqnarray} \int_X ~ cf ~ d \mu &=& \int_X ~(-c)(-f) ~ d \mu \\ &=& -c \int_X ~ (-f) ~ d \mu \\ &=& (-c) \left( - \int_X ~ f ~ d \mu \right) \\ &=& c \int_X ~ f ~ d \mu \end{eqnarray} \] 가 성립한다.
정리 3. (파토우의 보조정리) \((X,~\mathfrak{M} ,~ \mu )\)가 측도공간이고 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f_n : X \to [0,~\infty ]\)가 가측함수이면 다음이 성립한다. \[\int_X \varliminf_{n\to\infty} f_n ~ d \mu \le \varliminf_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \]
증명. 함수 \(f ,\) \(g\)를 다음과 같이 정의하자. \[f := \varliminf_{n\to\infty} f_n ~,~~ g_n := \inf_{k \ge n} f_k \] 그러면 \(g_n \le f_n \)이고 \(g_n \le g_{n+1} \)이며 \(g_n \to f \)이다. 따라서 단조수렴 정리에 의하여 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ \varliminf_{n\to\infty} f_n ~ d \mu &=& \int_X ~ \lim_{n\to\infty} g_n ~ d \mu \\ &=& \lim_{n\to\infty} \int_X ~ g_n ~ d \mu \\ &=& \varliminf_{n\to\infty} \int_X ~ g_n ~ d \mu \\ & \le & \varliminf_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu \end{eqnarray} \] 가 성립한다.
지금까지 가측함수의 '르베그 적분'은 정의했지만 '르베그 적분 가능성'은 정의하지 않았다. 이제 르베그 적분 가능성을 정의하자.
정의 4. \((X,~ \mathfrak{M} ,~ \mu )\)가 측도공간이라고 하자. 만약 \(f : X \to \tilde{\mathbb{R}} \)가 가측함수이고 \[\int_X ~ |f| ~ d \mu < \infty \] 이면 '\(f\)는 르베그 적분 가능하다' 또는 간단히 '\(f\)는 적분 가능하다'라고 말한다.
참고 5. \(|f| = f^+ - f^- \)이고 \(0 \le f^+ \le |f| ,\) \( 0 \le f^- \le |f|\)이므로 \(f\)가 적분 가능할 필요충분조건은 \(f^+ \)와 \(f^- \)가 모두 적분 가능한 것이다. 또한 \(f\)가 적분 가능하면 \[\int_X ~ |f| ~ d \mu < \infty \] 이므로 \(X\)의 거의 모든 점에서 \( |f| < \infty \)가 성립한다.
정리 6. (지배수렴) \((X,~\mathfrak{M} ,~ \mu )\)가 측도공간이고 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f_n : X \to \tilde{\mathbb{R}}\)가 가측함수이며 \(f_n \to f \)라고 하자. 또한 적분 가능한 함수 \(g : X \to \tilde{\mathbb{R}}\)가 존재하여 임의의 \(n\)에 대하여 \(\left| f_n \right| \le g \)라고 하자. 그러면 임의의 \(n\)에 대하여 \(f_n \)은 적분 가능하고 \(f\)도 적분 가능하며 \[\lim_{n\to\infty} \int_X ~ \left| f_n -f \right| ~ d \mu =0\] 즉 \[\lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_n ~ d \mu = \int_X ~ f ~ d \mu \] 가 성립한다. (이때 '\(\left\{ f_n \right\}\)은 \(g\)에 의하여 유계이다' 또는 '\(\left\{f_n \right\}\)은 \(g\)에 의하여 지배된다라고 말한다.)
증명. 적분 가능성의 정의에 의하여 \(f_n \)과 \(f\)는 적분 가능하다. 또한 \(2g - \left| f_n -f \right| \)는 가측이며 음의 값을 갖지 않는다. 따라서 파토우의 보조정리에 의하여 다음을 얻는다. \[\int_X \varliminf_{n\to\infty} \left( 2g - \left| f_n -f \right| \right) ~ d \mu \le \varliminf_{n\to\infty} \int_X \left( 2g - \left| f_n -f \right| \right) ~ d \mu . \tag{8} \] 여기서 \(f_n \to f \)이므로 \[ \int_X ~\varliminf_{n\to\infty} \left( 2g - \left| f_n - f \right| \right) ~ d \mu = 2 \int_X ~ g ~ d \mu \tag{9} \] 이다. 또한 \[\begin{eqnarray} \varliminf_{n\to\infty} \int_X \left( 2g - \left| f_n -f \right| \right) ~ d \mu &=& \int_X ~2 g ~ d \mu + \varliminf_{n\to\infty} \left( - \int_X \left| f_n -f \right| d \mu \right) \\ &=& 2 \int_X ~ g ~ d \mu - \varlimsup_{n\to\infty} \int_X ~ \left| f_n -f \right| ~ d \mu \tag{10} \end{eqnarray} \] 이다. (9)와 (10)을 (8)에 대입하면 \[2 \int_X ~ g~ d \mu \le 2 \int_X ~ g ~ d \mu - \varlimsup_{n\to\infty} \int_X ~ \left| f_n -f \right| ~ d \mu \] 이므로 \[\varlimsup_{n\to\infty} \int_X ~ \left| f_n -f \right| ~ d \mu \le 0 \] 즉 \[\varlimsup_{n\to\infty} \int_X ~ \left| f_n -f \right| ~ d \mu =0 \] 을 얻는다.
참고 7. 정리 6의 가정에서 \(f_n \to f\)라는 조건을 '거의 모든 점에서 \(f_n \to f \)'로 바꾸어도 동일한 결론을 얻을 수 있다.
참고 8. 정리 6에서 \(n\)은 자연수가 아니라 실수여도 된다. 즉 \(0 \le t < 1 \)인 \(t\)에 대하여 \(f_t : X \to \tilde{\mathbb{R}}\)가 가측함수이며, \(t \to 1- \)일 때 \(f_t \to f \)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\lim_{t \to 1- } \int_X ~ f_t ~ d \mu = \int_X ~ f ~ d \mu \]
증명. 수열 판정법을 이용하자. \(1\)에 수렴하고 모든 항이 \([0,~1)\)에 속하는 수열 \(\left\{ t_n \right\}\)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(n\to\infty\)일 때 \(f_{t_n} \to f \)이고 각 \(n\)에 대하여 \(f_{t_n}\)은 가측함수이므로 \[\lim_{n\to\infty} \int_X ~ f_{t_n} ~ d \mu = \int_X ~ f ~ d \mu \] 가 성립한다. 따라서 수열 판정법에 의하여 \[ \lim_{t\to 1-} \int_X ~ f_t ~ d \mu = \int_X ~ f ~ d \mu \] 가 성립한다.