문제. \(p\)가 양의 정수일 때 다음 거듭제곱급수의 수렴구간을 구하여라. (출처)
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(pn)!}{(n!)^p} x^n \tag{1} \]일단 수렴반경을 구하는 것은 어렵지 않다. \[a_n = \frac{(pn)!}{(n!)^p}\] 이라고 두고 비 판정 공식을 이용하자. \[\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert &= \lim_{n\to\infty} \frac{(pn+1)(pn+2) \cdots (pn+p)}{(n+1)^p} \\[3pt] &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{pn+1}{n+1} \cdot \frac{pn+2}{n+1} \cdots \frac{pn+p}{n+1}\right) \\[3pt] &= p^p . \end{align}\] 그러므로 수렴반경은 \(p^{-p}\)이다.
이제 오른쪽 끝점에서의 수렴 여부, 즉 \(x = p^{-p}\)일 때 (1)의 수렴여부를 살펴보자. \(x = p^{-p}\)일 때 \[a_n \,x^n = \frac{(pn)!}{(n!)^p} \cdot \frac{1}{p^{pn}} \tag{2}\] 이다. \(a_n \, x^n\)의 식에 차례곱(factorial)과 거듭제곱이 함께 있으므로 \(\sum a_n\,x^n\)의 수렴 여부를 직접 판정하기 어렵다. 이럴 때 사용할 수 있는 방법이 Stirling 공식이다.
Stirling 공식. \(n\)이 충분히 큰 자연수일 때 \[n! \,\sim\, \frac{n^n \sqrt{2 n \pi}}{e^n} \tag{3}\] 이다. 즉 \[\lim_{n\to\infty} \frac{n^n \sqrt{2n \pi}}{n! \,e^n} = 1 \tag{4}\] 이다. (증명)
\(n\)이 충분히 클 때 (3)에 의하여 \[\begin{align} a_n \,x^n &= \frac{(pn)!}{(n!)^p} \cdot \frac{1}{p^{pn}} \\[4pt] &\sim \frac{(pn)^{pn} \sqrt{2pn \pi} \times e^{pn}}{e^{pn} \times n^{pn} \sqrt{(2n \pi )^p} \times p^{pn}}\\[4pt] &= \sqrt{ \frac{2pn \pi}{(2n \pi)^p} }\\[4pt] &= \sqrt{ \frac{p}{2^{p-1} \pi^{p-1} n^{p-1}} }\\[4pt] &= \sqrt{ \frac{p}{2^{p-1} \pi^{p-1}}} \frac{1}{n^{\frac{p-1}{2}}} \end{align}\] 이므로 \(p\)-급수 판정법에 의하여 \(\sum a_n \,x^n\)이 수렴할 필요충분조건은 \[\frac{p-1}{2} > 1\] 즉 \[p > 3\] 이다.
다음으로 왼쪽 끝점에서의 수렴 여부, 즉 \(x = - p^{-p}\)일 때 (1)의 수렴여부를 살펴보자. 먼저 \(p > 3\)일 때에는 \(\sum a_n \,x^n\)이 절대수렴하므로 \(\sum a_n \,x^n\) 자신도 수렴한다. \(p=2\) 또는 \(p=3\)일 때에는 \( \left\lvert a_n \, x^n \right\rvert \)이 단조감소하므로 교대급수 판정법에 의하여 \(\sum a_n \,x^n\)은 수렴한다. \(p=1\)일 때에는 \(a_n \,x^n \nrightarrow 0\)이므로 \(\sum a_n \,x^n\)은 발산한다.
이상을 정리하면 \(\sum a_n \,x^n\)의 수렴 구간은 \(p\)의 값에 따라 다음과 같이 정해진다.
- \(p = 1\)일 때 수렴구간은 \(\left(-p^{-p} ,\, p^{-p}\right)\),
- \(p = 2\) 또는 \(p=3\)일 때 수렴구간은 \(\left[-p^{-p} ,\, p^{-p}\right)\),
- \(p > 3\)일 때 수렴구간은 \(\left[-p^{-p} ,\, p^{-p}\right]\).
함수의 극한을 구할 때 L'Hôpital의 법칙을 ‘치트 키’처럼 사용하듯이 수열의 극한을 구할 때 Stirling 공식을 ‘치트 키’처럼 사용할 수 있다. (3)이나 (4)를 기억해두자.