측도와 적분 – 르베그 적분의 개념

리만 적분은 피적분함수의 정의역을 분할하지만 르베그 적분은 피적분함수의 치역을 분할한다. 따라서 르베그 적분은 치역이 유한인 함수의 적분을 먼저 정의하고 그것을 확장하여 일반적인 가측함수의 적분을 정의한다.

1. 단순함수의 르베그 적분

먼저 단순함수의 개념과 단순함수의 르베그 적분을 살펴보자.

참고 2. \(X\)가 가측공간이고 \(S \subseteq X\)일 때 특성함수 \(\chi _S \)가 가측함수일 필요충분조건은 \(S\)가 가측집합인 것이다.

참고 3. 단순함수는 특성함수의 결합으로 나타낼 수 있다. 즉 \(\varphi : X \to \tilde{\mathbb{R}}\)가 단순함수라고 하자. 그리고 \(\varphi\)의 치역을 \(\left\{ a_1 ,~ a_2 ,~ \cdots ,~ a_n \right\}\)이라고 하고 \( E_k := \varphi ^{-1} \left( \left\{ a_k \right\} \right) \)라고 하자. 그러면 \[\varphi = \sum_{k=1}^{n} a_k ~ \chi_{E_k} \] 가 된다. 이때 \(\varphi\)가 가측함수일 필요충분조건은 임의의 \(k\)에 대하여 \(E_k \)가 가측집합인 것이다.

이제 실숫값을 갖는 함수의 르베그 적분을 정의하자. 르베그 적분은 세 단계로 정의한다. 먼저 단순함수의 르베그 적분을 정의하고, 다음으로 음이 아닌 함수의 르베그 적분을 정의하며, 마지막으로 양의 값과 음의 값을 모두 갖는 함수의 르베그 적분을 정의한다.

단순함수를 특성함수의 결합으로 나타낼 때 결합 형태는 유일하지 않을 수도 있다. 예를 들어 \(\varphi\)가 단순함수이고 특성함수의 결합 \[\varphi = a_1 ~ \chi_{E_1} + a_2 ~ \chi_{E_2} + a_3 ~ \chi_{E_3}\] 으로 표현된다고 하자. 그리고 \(E_1 \)을 공집합이 아닌 두 개의 집합으로 분할하여 \(E_1 = U \cup V \)로 나타낼 수 있다고 하자. 이때 \[\varphi = a_1 ~ \chi_U + a_1 ~ \chi_V + a_2 ~ \chi_{E_2} + a_3 ~ \chi_{E_3}\] 과 같이 \(\varphi\)를 특성함수의 또다른 결합으로 나타낼 수 있다. 따라서 이러한 결합 표현에 상관 없이 \(\varphi\)의 르베그 적분 값이 일정해야 정의 4가 의미를 가진다.

증명. 단순함수 \(\varphi : X \to \tilde{\mathbb{R}}\)가 다음과 같이 특성함수의 두 가지 결합 형태로 표현된다고 하자. \[\phi = \sum_{i=1}^{n_1} a_i ~ \chi_{U_i} ~,~~~ \varphi = \sum_{i=1}^{n_2} b_j ~ \chi_{V_j} \] 그러면 \(\left\{ U_i \right\}\)와 \(\left\{ V_j \right\}\)는 각각 \(X\)의 분할이므로 \(\left\{U_i \cap V_j \right\}\)도 \(X\)의 분할이다.
또한 \(U_i \cap V_j \ne \emptyset \)일 때 \(U_i \cap V_j \) 위에서 \(a_i = b_j \)이므로 \[\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} a_i ~\mu (U_i ) &=& \sum _ {j=1}^{n_2} \sum_{i=1}^{n_1} a_i ~\mu ( U_i \cap V_j ) \\ &=& \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{i=1}^{n_1} b_j ~\mu (U_i \cap V_j ) \\ &=& \sum_{j=1}^{n_2} b_j ~ \mu ( V_j ) \end{eqnarray} \] 가 성립한다.

위와 같은 논법으로 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.

증명. \(\varphi\)와 \(\psi\)가 다음과 같이 특성함수의 결합으로 표현된다고 하자. \[\varphi = \sum_{i=1}^{n_1} a_i ~ \chi_{U_i } ,~~ \psi = \sum_{j=1}^{n_2} b_j ~\chi_{V_j } \tag{5} \] 그러면 르베그 적분의 정의에 의하여 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ \varphi ~ d \mu &=& \sum_{i=1}^{n_1} a_i ~ \mu (U_i ) \\ &=& \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{i=1}^{n_1} a_i ~ \mu (U_i \cap V_j ) \\ &\le & \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{i=1}^{n_1} b_j ~ \mu ( U_i \cap V_j ) \\ &=& \sum_{j=1}^{n_2} b_j ~ \mu (V_j ) \\ &=& \int_X ~ \psi ~ d \mu \end{eqnarray}\] 를 얻는다.

증명. \(\varphi\)와 \(\psi\)가 (5)와 같이 특성함수의 결합으로 표현된다고 하자. 그러면 \[\int_X ~ c \varphi ~ d \mu = \sum_{i=1}^{n_1} c a_i ~ \mu (U_i ) = c \sum_{i=1}^{n_1} a_i ~\mu (U_i ) = c\int _X ~\varphi ~ d \mu \] 이므로 (ⅰ)이 성립한다. 또한 \[ \begin{eqnarray} \int_X ~ \varphi ~ d \mu + \int_X ~ \psi ~ d \mu &=& \sum_{i=1}^{n_1} a_i ~\mu (U_i ) + \sum_{j=1}^{n_2} b_j ~\mu (V_j ) \\ &=& \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} a_i ~\mu (U_i \cap V_j ) + \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{i=1}^{n_1} b_j ~ \mu (U_i \cap V_j ) \\ &=& \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} (a_i + b_j ) ~\mu (U_i \cap V_j ) \\ &=& \int_X ~(\varphi + \psi ) ~ d \mu \end{eqnarray} \] 이므로 (ⅱ)가 성립한다.

2. 일반적인 실숫값 함수의 르베그 적분

이제 단순함수의 르베그 적분을 확장하여 실숫값을 갖는 일반적인 함수들의 르베그 적분을 정의하자.

위 정의가 의미를 가지려면 임의의 가측함수 \(f : X \to [0,~\infty ]\)에 대하여 \(f\)에 충분히 근사한 가측단순함수가 존재해야 한다.

증명. 자연수 \(n\)과 \(1 \le i \le n2^n \)인 자연수 \(i\)에 대하여 \[ \begin{eqnarray} E_{ni} & := & \left\{ x ~\left| ~ \frac{i-1}{2^n} \le f(x) < \frac{i}{2^n} \right. \right\} , \\ \\ F_n & := & \left\{ x ~|~ f(x) \ge n \right\} \end{eqnarray} \] 이라고 하자. \[\varphi _n := \sum_{i=1}^{n2^n} \frac{i-1}{2^n} ~ \chi _{E_ni} + n \chi _{F_n } \] 이라고 하면 \(\left\{ \varphi _n \right\}\)은 \(f\)에 수렴하고 증가하는 가측단순함수열이다.

\(X\)에서 \(f\)의 르베그 적분을 다음과 같이 나타내기도 한다. \[\int_{x \in X} ~f(x)~d \mu ,~~~ \int_X ~ f(x) ~ d \mu (x) ,~~~ \int_X ~ f(x) ~ \mu (dx) \] 혼동할 염려가 없을 때에는 적분범위나 변수를 생략하여 다음과 같이 나타내기도 한다. \[\int f ,~~~ \int_X ~ f ,~~~ \int ~f~d \mu ,~~~ \int_{x \in X} f(x) \]

참고 11. \((X,~ \mathfrak{M} ,~ \mu )\)가 측도공간이고 \(E \subseteq X \)이며 \(E\)가 가측집합일 때 \[\int_A ~ f ~ d \mu = \int_X ~ f ~ \chi_E ~ d \mu \] 가 성립한다. 여기서 우변의 \(\mu\)는 \(X\)의 측도 \(\mu\)의 정의역을 \(E\)의 \(\sigma\)-대수로 축소한 것과 같다.

보기 12. \(X \subseteq \mathbb{R} ^n \)이고 \(\lambda\)가 \(\mathbb{R} ^n \)의 르베그 측도이면 르베그 적분은 리만 적분을 일반화한 것이 된다. 이때 르베그 적분 \[\int_X ~f~d \lambda\] 에서 측도 \(\lambda\)를 생략하여 리만 적분과 마찬가지로 \[\int_X ~ f(x) ~ dx ~~~~ \text{or}~~~~ \int_{a}^{b} ~ f(x) ~ dx \tag{6} \] 와 같이 나타낸다. 그러나 이 글에서는 별다른 언급이 없는 한 \([a,~b]\)에서의 르베그 적분은 \[\int_{[a,~b]} ~f~d \lambda \] 의 꼴로 나타내고, 리만 적분은 (6)의 꼴로 나타내는 것으로 약속한다.

증명. (ⅰ) \(0 \le f \le g \)라고 하자. 그리고 정의역이 \(X\)인 모든 가측단순함수들의 모임을 \(S_X \)라고 하자. 그러면 \[\left\{ \varphi \in S_X ~|~ 0 \le \varphi \le f \right\} \subseteq \left\{ \varphi \in S_X ~|~ 0 \le \varphi \le g \right\}\] 이므로 \[\int_X ~ f ~ d \mu \le \int_X ~ g ~ d \mu \] 가 성립한다. \(f \le g \)인 경우에는 \(f^+ \le g^+ ,\) \( f^- \ge g^- \)이므로 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ f ~ d \mu &=& \int_X ~ f^+ ~ d \mu - \int_X ~ f^- ~ d \mu \\ & \le & \int_X ~ g^+ ~ d \mu - \int_X ~ g ^- ~ d \mu \\ & = & \int_X ~ g ~ d \mu \end{eqnarray} \] 가 성립한다.

(ⅱ) \(f \chi_U \le f \chi_V \)이므로 (ⅰ)에 의하여 다음을 얻는다. \[\int_U ~ f ~ d \mu = \int_X ~ f \chi_U ~ d \mu \le \int_X ~ f \chi_V ~ d \mu = \int_V ~ f ~ d \mu \]

(ⅲ) \( - |f| \le f \le |f|\)이므로 (ⅰ)에 의하여 \[-\int_X ~ |f| ~ d \mu = \int_X ~ -|f| ~ d \mu \le \int_X ~f~d \mu \le \int_X ~ |f| ~ d \mu \] 가 성립한다.

3. 측도가 0인 집합

측도 0의 개념은 측도론과 르베그 적분에서 대단히 중요한 개념이다. 직관적으로 측도가 0이라는 것은 적분을 할 때 무시할 수 있을 만큼 작은 크기라는 뜻이다. 정확한 정의는 다음과 같다.

보기 15. 유클리드 공간 \(\mathbb{R}\)에서는 구간의 길이가 집합의 측도와 같으므로, 정의 14의 측도 0의 정의는 다음과 같이 환원된다 : \(\mathbb{R}\)의 부분집합 \(S\)의 측도가 0일 필요충분조건은 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 가산 개의 구간들의 모임 \(C = \left\{ I_k \right\}\)가 존재하여 \(I_k \)들의 길이의 합이 \(\epsilon\)보다 작으면서 \(C\)가 \(S\)의 덮개가 되는 것이다.

보기 16. 유클리드 공간 \(\mathbb{R} ^n \)에서 한점집합은 측도 0인 집힙이다. 또한 측도의 가산가법성에 의하여 \(\mathbb{R} ^n \)의 가산부분집합은 측도 0인 집합이다. 그러나 만약 \(\mathbb{R} ^n \)에 셈측도가 주어져 있다면 한점집합은 측도 0인 집합이 아니다.

이제 두 함수의 값이 거의 같은 경우에 대한 르베그 적분의 값의 차이를 살펴보자.

증명. \(U = \left\{ x \in X ~|~ f(x)=0 \right\} , \) \( \mu \left( U^c \right) =0 \)이라고 하자. 그러면 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ f ~ d \mu &=& \int_X ~ f \left( \chi_U + \chi_{U^c} \right) ~ d \mu \\ &=& \int_X ~ f \chi_U ~ d \mu + \int_X ~ f ~ \chi_{U^c} ~ d \mu \\ &=& \int_U ~ f ~ d \mu + \int_{U^c} ~ f ~ d \mu = 0+0 =0 \end{eqnarray} \] 이 성립한다. 역으로 \(X\)에서 \(f\)의 르베그 적분 값이 \(0\)이라고 하자. 그리고 \[\begin{eqnarray} E_n &:=& \left\{ x \in X ~ \left | ~ f(x) > \frac{1}{n} \right. \right\} , \\ \\ E &=& \left\{ x \in X ~|~ f(x) >0 \right\} \end{eqnarray} \] 이라고 하자 그러면 \[E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \] 이므로 임의의 \(n\)에 대하여 \[ \begin{eqnarray} \mu \left( E_n \right) &=& \int_{E_n} ~ 1 ~ d \mu \\ &=& n \int_{E_n} ~ \frac{1}{n} ~ d \mu \\ & \le & n \int_{E_n} ~ f ~ d \mu \\ & \le & n \int_X ~ f ~ d \mu =0 \end{eqnarray} \] 이다. 즉 \(\mu \left( E_n \right) =0 \)이다. 따라서 \[ \mu (E) = \lim_{n \to \infty} \mu (E_n ) =0 \] 이다.

증명. \(h = |g-f|\)라고 하자. \(X\)의 거의 모든 점에서 \(h=0\)이고, \(h \ge 0\)이므로 보조정리 17에 의하여 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ g ~ d \mu - \int_X ~ f ~ d \mu &=& \int_X ~ g-f ~ d \mu \\ & \le & \int_X ~ |g-f | ~ d \mu \\ &=& \int_X ~ h ~ d \mu =0 \end{eqnarray} \] 그리고 \[\begin{eqnarray} \int_X ~ f ~ d \mu - \int_X ~ g ~ d \mu &=& \int_X ~ f-g ~ d \mu \\ & \le & \int_X ~ |g-f| ~ d \mu \\ &=& \int_X ~ h ~ d \mu =0 \end{eqnarray} \] 이다. 두 부등식을 결합하면 (7)을 얻는다.