무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \tag{1}\] 은 양의 무한대로 발산하지만 그 속도는 대단히 느리다. 그 값이 \(100\)을 넘기기 위해 더해야 할 항의 개수는 무려 \[n \ge 15092688622113788323693563264538101449859497\] 이다(출처). 더 재미있는 사실은 \(p > 1\)일 때 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \tag{2}\] 은 수렴한다는 것이다. \(p\)가 \(1\)에 아무리 가까워도, \(1\)보다 조금이라도 크기만 하면 (2)는 수렴한다. 그렇다면 (1)은 발산하는 무한급수 중에서 가장 느리게 발산하는 급수일까? 그렇지 않다. \[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} \tag{3}\] 은 (1)보다 느리게 커지지만 발산하는 무한급수이다. 사실 ‘가장 느리게 발산하는’ 무한급수는 존재하지 않는다. 왜냐하면 발산하는 무한급수가 주어지기만 하면 그것보다 더 느리게 발산하는 무한급수를 만들 수 있기 때문이다.
다음 두 정리는 Walter Rudin의 『Principles of Mathematical Analysis』 3장에 연습문제로 나와 있고, Herb Silverman의 『Complex Variables』 6장에 정리로 나와 있다.
정리 1. \(\left\{ a_n \right\}\)이 양항수열(모든 항이 양수인 수열)이고 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n \tag{4}\] 이 발산한다고 하자. (4)의 부분합을 \(s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)라고 했을 때, 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{s_n} \tag{5}\] 은 발산한다.
증명. 코시의 조건(Cauchy criterion)을 이용하여 발산함을 보이자. 즉 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 자연수 \(p\)가 존재하여 \[\frac{a_{n+1}}{s_{n+1}} + \frac{a_{n+2}}{s_{n+2}} + \cdots + \frac{a_{n+p}}{s_{n+p}} > \frac{1}{2} \tag{6}\] 이 성립함을 보이자. \(\left\{ s_n \right\}\)이 증가수열이므로 자연수 \(n,\) \(p\)에 대하여 \[\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{a_k}{s_k} \ge \frac{\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k}{s_{n+p}} = \frac{s_{n+p} - s_n}{s_{n+p}} = 1-\frac{s_n}{s_{n+p}} \tag{7}\] 이 성립한다. 그런데 \(p \to \infty\)일 때 \(s_{n_p} \to \infty\)이므로, 임의로 주어진 \(n\)에 대하여 \(p\)가 존재하여 \(s_{n+p} > 2s_n\)을 만족시킨다. 그러한 \(n,\) \(p\)를 (7)에 대입하면 다음을 얻는다. \[\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{a_k}{s_k} > \frac{1}{2} .\] 그러므로 (6)이 성립한다. 즉 (5)는 발산한다.
비슷한 방법으로 느리게 수렴하는 무한급수를 만들 수 있다.
정리 2. 정리 1에서와 같은 조건이 주어졌을 때, 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{{s_n}^2} \tag{8}\] 은 수렴한다.
증명. \(\left\{ s_k \right\}\)가 증가수열이므로 \(2\) 이상인 자연수 \(k\)에 대하여 \[\frac{a_k}{{s_k}^2} \le \frac{a_k}{s_k \, s_{k-1}} = \frac{s_k - s_{k-1}}{s_k \, s_{k-1}} = \frac{1}{s_{k-1}} - \frac{1}{s_k} \tag{9}\] 이 성립한다. 따라서 자연수 \(n,\) \(p\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{a_k}{{s_k}^2} \le \sum_{k=n+1}^{n+p} \left( \frac{1}{s_{k-1}} - \frac{1}{s_k} \right) = \frac{1}{s_n} - \frac{1}{s_{n+p}} < \frac{1}{s_n} .\] 여기서 \(n\to\infty\)일 때 마지막 식은 \(0\)에 수렴하므로 코시의 조건에 의하여 (8)은 수렴한다.
위 정리를 이용하여 재미있는 문제를 만들어 보자.
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)의 부분합 \(s_n\)의 근삿값을 \(\ln n\)으로 둔 뒤(이유), 정리 1을 이용하면 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \ln n}\] 은 발산한다. 이것은 (3)에서 살펴본 무한급수이다. 비슷하게 정리 2를 이용하면 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n (\ln n )^2}\] 은 수렴한다. 물론 이 두 무한급수의 수렴-발산은 코시 응집 판정법을 이용하면 쉽게 판정된다.