V, W가 벡터공간이고 f:V→W가 함수라고 하자. 만약 f가 임의의 스칼라 a와 벡터 x, y에 대하여 f(ax+y)=af(x)+f(y)를 만족시키면 f를 선형사상이라고 부른다. R로부터 R로의 연속선형사상은 모두 f(x)=ax 꼴이다. 유클리드 공간 사이의 선형사상, 즉 Rm으로부터 Rn으로의 연속선형사상은 모두 f(x)=Ax 꼴이다. 여기서 A는 n×m 행렬이다.
그렇다면 V, W가 일반적인 벡터공간일 때에도 V로부터 W로의 선형사상은 모두 f(x)=Ax 꼴로 나타낼 수 있을까? 이것에 대한 해답이 Riesz의 표현 정리이다.
Riesz의 표현 정리. H가 체 F 위에서의 Hilbert 공간이고 L:H→F가 유계선형범함수라고 하자. 그러면 H에서의 벡터 h0이 유일하게 존재하여 임의의 h∈H에 대하여 L(h)=⟨h,h0⟩을 만족시킨다. 더욱이 ‖이 성립한다.
증명. M = \ker (L)이라고 하자. L이 연속이므로 M은 H의 닫힌 선형부분공간이다. 일반성을 잃지 않고 M \ne H라고 하자. 그러면 M ^\bot \ne (0)이다. 따라서 M^\bot에 속하는 벡터 f_0이 존재하여 L(f_0 ) = 1을 만족시킨다.
만약 h\in H이고 c = L(h) 이면 L(h - cf_0 ) = L(h) - c = 0이므로 h - L(h) f_0 \in M이다. 따라서 다음이 성립한다. 0 = \left < h - L(h) f_0 ,~ f_0 \right > = \left < h ,~ f_0 \right > - L(h) \Vert f_0 \Vert ^2그러므로 h_0 = \Vert f_0 \Vert - 2 f_0 일 때 임의의 h\in H에 대하여 L(h) = \left < h ,~ h_0 \right > 이 성립한다.
만약 h_0 ' \in H이고 임의의 h에 대하여 \left < h ,~ h_0 \right > = \left < h , ~ h_ 0 ' \right > 이면 h_0 - h_0 ' \bot H 이다. 특히 h_0 - h_0 ' \bot h_0 - h_0 ' 이므로 h_0 ' = h_0 이다. 그러므로 \Vert L \Vert = \Vert h_0 \Vert이 성립한다.