르베그 적분에서는 피적분함수의 역상의 체적을 이용하여 적분을 정의하기 때문에 주어진 함수에 대하여 공역의 가측집합의 역상이 가측집합 되는지를 판별하는 것이 매우 중요하다. 이러한 이유로 가측집합의 역상이 가측집합이 되는 함수를 가측함수라고 부른다. 이 글에서는 가측함수의 개념과 함수의 가측성을 판별하는 방법을 살펴본다.
1. 가측함수의 개념
먼저 가측함수의 정의를 살펴보자. 가측함수의 정의는 위상공간 사이에서 정의된 연속함수와 비슷하다.
정의 1. \((X,~\mathfrak{A} )\), \((Y,~ \mathfrak{B} )\)가 가측공간이고 함수 \(f:X \to Y\)가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 \(S \in \mathfrak{B} \)에 대하여 \(f^{-1} (S) \in \mathfrak{A} \)이면 \(f\)를 가측함수(measurable function)라고 부른다.
가측함수는 그 성질 또한 위상공간 사이에서 정의된 연속함수와 비슷하다.
보기 2.\(X,\) \(Y\)가 가측공간이고 \(f:X \to Y \) 가 상수함수이면 \(f\)는 가측함수이다. 왜냐하면 \(f\)의 역상은 \(X\) 또는 \(\varnothing\)인데, 두 집합 모두 가측집합이기 때문이다.
보기 3.\(X,\) \(Y\)가 가측공간이고 \(f:X \to Y, \) \(g:Y\to Z\)가 가측함수이면 \(g \circ f : X \to Z\)도 가측함수이다. 왜냐하면 \(S\)가 \(Z\)의 가측집합이면 \(g^{-1} (S)\)는 \(Y\)의 가측집합이고 \(f^{-1} ( g^{-1} (S))\)는 \(X\)의 가측집합이기 때문이다.
보기 4. \(X\)가 가측공간이고 \(I : X \to X\)가 항등함수이면 \(I\)는 가측함수이다. 왜냐하면 \(X\)의 임의의 가측집합 \(S\)에 대하여 \(I^{-1} (S) = S\)는 \(X\)의 가측집합이기 때문이다.
2. 함수의 가측성을 판별하는 방법
위상공간 사이에서 정의된 함수가 연속함수임을 보이기 위해서는 공역의 임의의 기저원소에 대하여 그 역상이 열린집합임을 보이면 된다. 가측함수도 이와 비슷한 성질을 가진다.
정리 5. (생성집합의 원소를 이용한 가측성 판별) \((X,~\mathfrak{A} ) , \) \((Y,~ \mathfrak{B} )\)가 가측공간이고 \(\mathfrak{B}\)가 \(G\)에 의해 생성되었다고 하자. 이때 함수 \(f : X \to Y \)가 가측함수일 필요충부조건은 임의의 \(S \in G\)에 대하여 \( f^{-1} (S) \in \mathfrak{A} \)인 것이다.
증명. \(f:X \to Y\)가 가측함수일 때 임의의 \(S \in G \)에 대하여 \(f^{-1} (S) \in \mathfrak{A}\)가 성립하는 것은 자명하다. 역을 증명하자. 임의의 \(S \in G \)에 대하여 \(f^{-1} (S) \in \mathfrak{A} \)라고 하자. 그리고 \[ H := \left\{ S \in \mathfrak{B} ~|~ f^{-1} (B) \in \mathfrak{A} \right\}\]라고 하자. 그러면 \(H\)는 \(\sigma\)-대수이다. 또한 \(G \subseteq H\)이므로 \(\sigma (G) \subseteq \sigma (H) \)이다. 그런데 정리의 가정에 의하여 \(\mathfrak{B} = \sigma (G)\)이고 \(H = \sigma (H)\)이므로 임의의 \(S \in \mathfrak{B} \)에 대하여 \(f^{-1} (S) \in \mathfrak{A} \)가 성립한다.
따름정리 6. \((X,~T),\) \((Y,~U)\)가 위상공간이고 함수 \(f:X \to Y\)가 연속함수이면 \(f\)의 공역을 축소한 함수 \(f : X \to f(X) \)는 가측함수이다.
증명. \(S \in U \)라고 하자. \(f\)가 연속이므로 \(f^{-1} (S) \in T \in \sigma (T) \)이다. 그런데 \(Y\)의 \(\sigma\)-대수는 \(U\)에 의하여 생성되었으므로 정리 5에 의하여 \(f\)는 가측함수이다.
다음 정리는 함수의 가측성을 판별하는 손쉬운 방법을 제공한다.
따름정리 7. \((X,~\mathfrak{M} )\)이 가측공간이라고 하자. 이때 함수 \(f: X \to \tilde{R}\)가 가측함수일 필요충분조건은 임의의 \(c\in \mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1} ((c,~\infty ] ) \in \mathfrak{M}\)이 성립하는 것이다.
증명. 두 집합 \(G ,\) \(H\)를 다음과 같이 정의하자. \[\begin{eqnarray} G &:=& \left\{ (a,~b) ~|~ a\in \mathbb{R} ,~ b\in \mathbb{R} \right\} \cup \left\{ \left\{ - \infty \right\} ,~ \left\{ \infty \right\} \right\} ,\\[8pt] H &:=& \left\{ ( c,~ \infty ] ~|~ c\in \mathbb{R} \right\} . \end{eqnarray}\] 그러면 \[ \begin{eqnarray} (a,~b) &=& [- \infty ,~ b ) \cap (a,~ + \infty ], \\ \\ [ -\infty ,~ b ) &=& \bigcup _ {n=1}^{\infty} \left[ -\infty ,~ b - \frac{1}{n} \right] = \bigcup_{n=1}^{\infty} \tilde{\mathbb{R}} \backslash \left( b - \frac{1}{n} ,~ \infty \right] , \\ \left\{ \infty \right\} &=& \bigcap _{n=1}^{\infty} (n,~ \infty ] , \\ \left\{ -\infty \right \} &=& \tilde{\mathbb{R}} \backslash \bigcup _{n=1}^{\infty} (-n ,~ \infty ] \end{eqnarray} \] 이므로 \(H\)는 \(G\)를 생성한다. \(\tilde{\mathbb{R}}\)의 임의의 열린집합은 가산 개의 열린구간의 합집합으로 표현되므로 모든 열린집합은 \(G\)의 원소들의 합집합으로 표현된다. 즉 \(G\)는 \(\tilde{\mathbb{R}}\)의 보렐 \(\sigma\)-대수를 생성한다. 따라서 \(H\)도 \(\tilde{\mathbb{R}}\)의 보렐 \(\sigma\)-대수를 생성한다. 그러므로 정리 5에 의하여 원하는 결과를 얻는다.
3. 여러가지 가측함수
연속인 함수를 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈으로 결함하여 만든 함수는 연속함수이다. 가측함수도 이와 비슷한 성질을 가진다.
정리 8. (합과 차의 가측성) \(f : X \to \mathbb{R}\)와 \(g : X \to \mathbb{R}\)가 가측함수이면 \(f+g \)와 \(f-g\)도 가측함수이다.
증명. 임의의 실수 \(c\)에 대하여
\[\left\{ x ~|~ f(x)+g(x) < c \right\} = \bigcup_{r\in \mathbb{Q}} \left\{ x ~|~ f(x) < c-r \right\} \cap \left\{ x ~|~ g(x) < r \right\}\]
가 성립한다. 그런데 위 식에서 집합
\[\left\{ x ~|~ f(x) < c-r \right\} ,~~ \left\{ x ~|~ g(x) < r \right\}\]
가 모두 가측집합이므로 그들의 교집합과 가산합집합으로 표현된 집합
\[\left\{ x ~|~ f(x) + g(x) < c \right\}\]
도 가측집합이다. 따라서 따름정리 7에 의하여 \(f+g\)도 가측함수이다.
같은 방법으로 \(f-g\)도 가측함수임을 보일 수 있다.
정리 9. (극한함수의 가측성) \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(\tilde{\mathbb{R}}\)에서 함숫값을 갖는 가측함수열이면 다음 함수들도 가측함수이다. \[ g_1 (x) := \sup_{n \in \mathbb{N}} f_n (x) , ~~ g_2 (x) := \inf _{n \in \mathbb{N}} f_n (x) , \] \[ g_3 (x) := \varlimsup _ {n\to\infty} f_n (x) ,~~ g_4 (x) := \varliminf_{n\to\infty} f_n (x) .\]
증명. 임의의 실수 \(c\)에 대하여 \[ \begin{eqnarray} \left\{ x ~|~ g_1 (x) > c \right\} &=& \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x ~|~ f_n (x) > c \right\} \in \mathfrak{M} , \\ \left\{ x ~|~ g_2 (x) < c \right\} &=& \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x ~|~ f_n (x) < c \right\} \in \mathfrak{M} , \\ \left\{ x ~|~ g_3 (x) \ge c \right\} &=& \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} \left\{ x ~ \left| ~ f_n (x) > c - \frac{1}{m} \right. \right\} \in \mathfrak{M} , \\ \left\{ x ~|~ g_4 (x) \le c \right\} &=& \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} \left\{ x ~ \left| ~ f_n (x) < c + \frac{1}{m} \right. \right\} \in \mathfrak{M} \end{eqnarray} \] 이므로 따름정리 7에 의하여 \(g_1 ,\) \(g_2 ,\) \(g_3 ,\) \(g_4\)는 모두 가측함수이다.
정리 10. (양의 부분과 음의 부분의 가측성) \(X\)가 가측공간일 때 함수 \(f : X \to \tilde{\mathbb{R}}\)가 가측함수일 필요충분조건은 \[f^{+} (x) := \max \left\{ f(x) ,~ 0 \right\} ,~~ f^{-} (x) := \min \left\{ -f(x) ,~ 0 \right\}\] 으로 정의된 함수 \(f^{+} \)와 \(f^{-} \)가 모두 가측함수인 것이다.
증명. \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)가 가측함수라고 가정하자. \(f = f^{+} - f^{-} \)이므로 정리 9에 의하여 \(f\)도 가측함수이다.
이제 역을 증명하자. \(f\)가 가측함수라고 가정하자. 그러면 임의의 실수 \(c\)에 대하여 \[\left\{ x ~|~ -f(x) < c \right\} = \left\{ x ~|~ f(x) > -c \right\}\] 이므로 \(-f\)는 가측함수이다. 또한 상수함수는 가측함수이므로 정리 9에 의하여 \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)는 모두 가측함수이다.
정리 11. (곱과 몫의 가측성) \(f:X \to \mathbb{R}\)와 \(g : X \to \mathbb{R}\)가 가측함수이면 \(fg\)도 가측함수이다. 만약 임의의 \(x\)에 대하여 \(g(x) \ne 0 \)이면 \(f/g\)도 가측함수이다.
증명. 함수 \(fg\)는 \[fg = (f^+ - f^- )(g^+ - g^- ) = f^+ g^+ - f^+ g^- - f^- g^+ + f^- g^- \] 로 나타낼 수 있으므로 fg가 가측함수임을 증명하기 위해서는 음의 값을 갖지 않는 두 가측함수의 곱이 가측임을 보이면 충분하다. 따라서 \(f\)와 \(g\)가 음의 값을 갖지 않는 함수라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 임의의 실수 \(c\)에 대하여 \[\left\{ x ~|~ f(x) g(x) < c \right\} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0 \right\}} \left\{ x ~ \left| ~ f(x) < \frac{c}{r} \right. \right\} \cap \left\{ x ~|~ g(x) < r \right\} \] 이므로 \(fg\)도 가측함수이다. 다음으로 \(1/g > 0\)이면 \(c > 0\)인 실수 \(c\)에 대하여 \[\left\{ x ~ \left| ~ \frac{1}{g(x)} < c \right. \right\} = \left\{ x ~ \left| ~ g(x) > \frac{1}{c} \right. \right\} \] 이고 \(c \le 0\)인 실수 \(c\)에 대하여 위 집합은 공집합이므로 \(1/g\)는 가측함수이다. \(g\)가 음의 값을 갖는 경우에는 \[ \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{g^+ (x)} - \frac{1}{g^- (x)} \] 이므로 \(1/g\)는 가측함수이다.
참고 12. 위 정리에서 \(f/g\)의 가측성을 논할 때 \(g \ne 0\)이라는 조건이 있다. 보통 함수의 합, 차, 곱, 몫의 가측성을 논할 때 함숫값이 \(0\)이거나 무한대가 되는 경우는 제외해야 한다. 그러나 다른 방법을 통해서 이러한 제한을 피할 수 있다. 예를 들어 \(f\)가 가측함수이고, \(f\)가 \(0\) 또는 무한대의 값을 갖는 정의역의 점들을 모아 \(U\)라고 하자. 그리고 상수 \(k\)를 하나 정한 뒤 \[ g(x) := \begin{cases} f(x) \quad & \text{if} ~~ x \notin U \\ \\ k \quad & \text{if} ~~ x \in U \end{cases} \] 라고 하자. 그러면 \(g\)의 공역의 부분집합 \(S\)에 대하여 \[ \begin{eqnarray} \left\{ x ~|~ g(x) \in S \right\} &=& \left( \left\{ x ~|~ g(x) \in S \right\} \cap U \right) \cup \left( \left\{ x ~|~ g(x) \in S \right\} \cap U^{c} \right) , \\[10pt] \left\{ x ~|~ g(x) \in S \right\} \cap U &=& \begin{cases} U \quad & \text{if} ~~ k \in S \\ \\ \varnothing \quad & \text{if} ~~ k \notin S , \end{cases} \\[10pt] \left\{ x ~|~ g(x) \in S \right\} \cap U^{c} &=& \left\{ x ~|~ f(x) \in S \right\} \cap U^{c} \end{eqnarray} \] 이므로 \(g\)도 가측함수이며 \(U\)는 가측집합이다. 특히 측도공간에서 \(U\)의 측도가 \(0\)이라면 \(f\)의 적분에 관하여 논하는 대신 \(g\)의 적분에 관하여 논하면 된다.