다음 극한을 구해 보자. \[\lim_{x\rightarrow 0+} x^x \tag{1}\] 이 극한은 직관적으로 구하기가 쉽지 않다. 왜냐하면 밑이 \(0\)일 때와 지수가 \(0\)일 때, 두 극한의 값 \[\lim_{x\rightarrow 0+} 0^x = 0 ,\quad \lim_{x\rightarrow 0+} x^0 = 1 \] 이 다르기 때문이다. 여기서는 두 가지 방법으로 이 극한을 구해 보자.
로피탈의 법칙을 사용한 풀이
우선 \(f(x)=x^x\)이라고 두면 모든 양수 \(x\)에 대하여 \(f(x)\)가 정의된다.
\(g(x)=\ln f(x)\)라고 두고, 로피탈의 법칙을 사용하여 \(x\rightarrow 0+\)일 때 \(g(x)\)의 극한을 구하면 다음과 같다. \[ \lim_{x\rightarrow 0+} g(x) = \lim_{x\rightarrow 0+} \ln x^x = \lim_{x\rightarrow 0+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow 0+} \frac{\frac{1}{x}}{ - \frac{1}{x^2} } = \lim_{x\rightarrow 0+} (-x) = 0. \] 사실 로피탈의 법칙을 사용하려면, 세심하게 조건을 확인해야 한다. 위 식에서 세 번째 극한이 \(\pm\infty/\infty\) 꼴인 부정형이고, \(0\) 근처에서 분모가 \(0\)이 되지 않으며, 네 번째 극한이 수렴하고, …, 아무튼 그렇다. 그러므로, 지수함수의 연속성을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻는다. \[ \lim_{x\rightarrow 0+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0+} \exp \ln f(x) = \lim_{x\rightarrow 0+} \exp g(x) = \exp 0 = 1.\]
로피탈의 법칙을 사용하지 않은 풀이
로피탈의 법칙을 사용하지 않고 (1)을 구하려면 어떻게 할까? \(x=1/t\)로 두고, \(t\rightarrow \infty\)인 극한을 생각해 보자. (이렇게 해도 되는 이유를 증명해 보자.) 즉 양수 \(t\)에 대하여, 다음과 같이 정의된 함수 \(h\)를 생각하자. \[h(t) = \frac{1}{f\left( \frac{1}{t} \right)} = t^{\frac{1}{t}} .\] \(t\rightarrow \infty\)인 극한을 구하는 과정이므로, \(t > e\)일 때만 생각해도 충분하다. (여기서 \(e\)는 자연상수이다.) \[\frac{d}{dt} \ln h(t) = \frac{d}{dt} \frac{\ln t}{t} = \frac{1 - \ln t}{t^2} < 0\] 이므로 \(t > e\)이면서 \(t\)가 증가할 때 \(\ln h(t)\)와 \(h(t)\)는 모두 감소한다.
한편 \(t > e\)일 때 \(h(t) = t^{\frac{1}{t}} > 1\)이므로, \(t > e\)인 범위에서 \(h(t)\)는 아래로 유계이다.
그러므로 단조수렴 정리에 의하여, \(t\rightarrow \infty\)일 때 \(h(t)\)가 수렴한다. 더욱이 수열의 극한과 함수의 극한의 관계에 의하여, \(h(t)\)에서 \(t\)를 자연수 \(n\)으로 바꾼 뒤 \(n\rightarrow \infty\)인 극한을 취하여도 \(h(t)\)에 \(t\rightarrow \infty\)인 극한을 취했을 때와 같은 값에 수렴한다. 즉 \[\lim_{n\rightarrow\infty} h(n) = \lim_{t\rightarrow \infty} h(t)\tag{2}\] 이다. 이로써 극한 (1)의 값을 구하는 문제는 다음과 같은 수열의 극한을 구하는 문제로 환원된다. \[\lim_{n\rightarrow\infty} h(n) = \lim_{n\rightarrow\infty} n^{\frac{1}{n}}\] 위 극한이 수렴한다는 사실은 이미 알고 있다. (잘 알려진 사실이라는 뜻이 아니라, (2)에 의하여 수렴한다는 뜻이다.) 그러므로 그 극한값을 \(L\)이라고 두자. 수렴하는 수열의 부분수열의 극한은 본래의 수열의 극한과 일치하므로 다음 등식을 얻는다. \[L = \lim_{n\rightarrow\infty} n^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty} (2n)^{\frac{1}{2n}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{ 2^{\frac{1}{n}} n^\frac{1}{n} } = \sqrt{ 1 \cdot L } = \sqrt{L}.\] 이 등식을 만족시키는 값 \(L\)은 \(L=0\)과 \(L=1\) 뿐이다 그런데 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^{\frac{1}{n}} \ge 1\)이므로 \(L = 1\)일 수밖에 없다. 즉 \[\lim_{t \rightarrow \infty} h(t) = \lim_{n\rightarrow\infty} h(n) = 1\] 이다. 이 결과를 사용하여 (1)의 극한을 구하면 다음과 같다. \[\lim_{x\rightarrow 0+} f(x) = \lim_{t\rightarrow\infty} f\left( \frac{1}{t} \right) = \lim_{t\rightarrow\infty} \frac{1}{h(t)} = \frac{1}{1} = 1.\] 많이 돌아온 느낌이다. 더 간단하게 증명하려면, \(0 < x < e\)일 때 \[\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{d}{dx} x\ln x = \ln x + 1 < 0\] 이므로, 함수 \(f\)가 열린구간 \((0, \,\,e)\)에서 감소함을 밝히고, \(0 < x < 1\)일 때 \(0 < f(x) < 1\)임을 밝힌다(밑과 지수가 모두 \(1\)보다 작은 양수인 거듭제곱). 그러면 단조수렴 정리에 의하여 \(x \rightarrow 0+\)일 때 \(f(x)\)의 극한이 수렴함이 보장된다. 이제 \(x = \frac{1}{n}\)이라고 두고 \(n \rightarrow\infty\)인 극한을 취한다. 그러면 앞에서와 비슷한 방법으로 수열의 극한을 계산하고, 바라는 극한값을 구할 수 있다.