$f(x) ^ {g(x)}$의 도함수 구하기

두 실함수 $f,$ $g$가 그들의 공통정의역에서 $0$보다 큰 값을 갖고 미분 가능하다고 하자. 이 때 $$h(x) = f(x)^{g(x)} \tag{1}$$ 로 정의된 함수 $h$는 $f$와 $g$의 공통정의역에서 미분 가능하다. $h$의 도함수를 구해보자.

로그 미분법을 이용하는 방법

등식 $h(x) = f(x)^{g(x)}$의 양변에 자연로그를 취하면 $$\ln h(x) = g(x) \ln f(x)$$ 이다. 양변을 미분하면 $$\frac{h ' (x)}{h(x)} = g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)}$$ 를 얻는다. 그러므로 $$h ' (x) = h(x) \left[ g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)} \right]$$ 즉 $$h ' (x) = f(x)^{g(x)} \left[ g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)} \right]\tag{2}$$ 를 얻는다.

지수를 바꾸는 방법

(1)을 변형하면 $$h(x) = \exp \left( \ln f(x)^{g(x)} \right) = \exp \left( g(x) \ln f(x) \right )\tag{3}$$ 이므로 $$h' (x) = \exp \left( g(x) \ln f(x) \right ) \cdot \left[ g ' (x) \ln f(x) + \frac{f ' (x) g(x)}{f(x)} \right]\tag{4}$$ 이다. 이 식에서 $\exp \left( g(x) \ln f(x) \right )$를 ${f(x)}^{g(x)}$로 바꾸면 (2)와 동일한 식을 얻는다.

다변수함수의 연쇄법칙을 이용하는 방법

$s=x,$ $t=x$라고 하고 $$\phi (s,\,t) = f(s)^{g(t)}$$ 라고 하자. 그러면 $h(x) = \phi(s,\,t)$이므로 $$\begin{align} \frac{dh}{dx} &= \frac{d \phi}{dx} = \frac{\partial \phi}{\partial s} \frac{d s}{d x} + \frac{\partial \phi}{\partial t} \frac{d t}{d x} \\[8pt] &= g(t) f(s)^{g(t) -1} f ' (s) \cdot 1 + f(s)^{g(t)} \ln f(s) \cdot g ' (t) \cdot 1 \\[6pt] &= g(t) f(s)^{g(t) } \frac{f ' (s)}{f(s)} + f(s)^{g(t)} \ln f(s) \cdot g ' (t) \\[4pt] &= {f(s)}^{g(t)} \left[ \frac{f ' (s) g(t)}{f(s)} + \ln f(s) \cdot g' (t) \right] \tag{5} \end{align}$$ 이다. 이 식에서 $s$와 $t$를 $x$로 바꾸면 (2)와 동일한 식을 얻는다.

주의사항

로그 미분법은 $h$의 미분 가능성을 가정한 채로 사용한다. 반면 지수를 바꾸는 방법과 다변수함수의 연쇄법칙을 이용하는 방법은 그 자체로서 $h$의 미분 가능성도 보장된다.