측도와 적분 – 측도의 개념과 기본 성질

실해석학을 공부할 때 처음 만나는 개념이 '측도'이다. 직관적으로 측도란 집합의 체적을 의미한다. 예를 들어 선분의 체적은 선분의 길이이고, 평면도형의 체적은 도형의 넓이이며, 입체도형의 체적은 도형의 부피를 의미한다. 그러나 이와 같이 익숙한 개념만 다룬다면 굳이 '측도'라는 개념을 새로 도입할 필요가 없다. 측도란 이러한 개념뿐만 아니라 더 넓은 범위의 체적의 개념을 추상화한 개념이다.

측도를 정의한다 하더라도 곧바로 우리가 일상적으로 다루던 집합의 크기를 잴 수 있는 것은 아니다. 왜냐하면 측도는 추상적으로 정의되기 때문이다. 이것은 추상대수학에서 군(group)의 개념을 공부할 때를 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다. 집합 \(G\)에 연산이 주어졌을 때 이 집합이 군이 되려면 세 조건[연산에 대한 항등원의 존재성, 임의 원소의 연산에 대한 역원의 존재성, 결합성]을 만족시켜야 한다. 그러나 군의 개념을 알고 그 성질을 증명했더라도 당장 \(2+3\)을 계산할 수는 없다. 왜냐하면 덧셈 연산이 주어진 정수계는 군의 일종이며, \(2+3\)을 계산하는 것은 정수계의 연산이지 군의 연산이 아니기 때문이다.

마찬가지로 이 글에서 살펴볼 '측도'란 체적을 추상화한 개념이다. 따라서 '측도'를 정의하고 그 성질을 증명했다 하더라도 당장 구간 \([a,~b]\)의 길이조차 측정하지 못한다. 구간의 길이를 측정하는 것은 측도 중에서도 유클리드 공간의 르베그 측도에 해당하는 것이다. 르베그 측도에 대한 내용은 이 글에서가 아닌 다음(바로 다음이 아니라 카라띠오도리 확장을 도입한 후)에 살펴볼 것이다.

1. 확장실수계

일반적인 실수계 \(\mathbb{R}\)에서 \( + \infty\)와 \(-\infty\)는 수가 아니다. 그러나 이들 무한대를 수로 생각하여 실수계를 확장할 수 있다.

실수계에 \(\infty\)와 \(-\infty\)를 추가한 집합을 확장실수계(extended real number system)라고 부르며 \(\tilde{\mathbb{R}}\)로 나타낸다. 즉 \[\tilde{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty ,~ \infty \right\}\]이다. \(\tilde{\mathbb{R}}\)의 원소를 확장실수라고 부르고 \(\mathbb{R}\)의 원소는 실수라고 부른다.

임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[-\infty < x < \infty \]인 것으로 약속한다. 그리고 \(\tilde{\mathbb{R}}\)에서의 사칙계산을 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) \(x \in \mathbb{R}\)일 때 \[ x + \infty = \infty + x = \infty + \infty := \infty , \\[8pt] x - \infty = - \infty +x = -\infty -\infty := -\infty . \] (ⅱ) \(x > 0\)일 때 \[x \cdot \infty = \infty \cdot x = \infty \cdot \infty = (-\infty ) \cdot (-\infty ) := \infty , \] \[x \cdot (-\infty ) = (-\infty ) \cdot x = (- \infty ) \cdot \infty = \infty \cdot (-\infty ) = -\infty . \]

(ⅲ) \(x < 0\)일 때 \[ x \cdot \infty = \infty \cdot x := - \infty , \] \[ x \cdot (-\infty ) = (-\infty ) \cdot x := \infty . \]

(ⅳ) \(x \in \tilde{\mathbb{R}}\)일 때 \[0 \cdot x = x \cdot 0 := 0 \]

단, \(\infty - \infty\)는 정의되지 않는다. 또한 \(| \infty | = | -\infty | := \infty \)로 정의한다.

확장실수계에서 구간은 통상적인 방법으로 정의한다. 즉 \(a \in \tilde{\mathbb{R}} ,\) \(b\in\tilde{\mathbb{R}}\)일 때 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{eqnarray} [a,~b] &:=& \left\{ x \in \tilde{\mathbb{R}} ~|~ a \le x \le b \right\} , \\[8pt] (a,~b] &:=& \left\{ x \in \tilde{\mathbb{R}} ~|~ a < x \le b \right\} , \\[8pt] [a,~b) &:=& \left\{ x \in \tilde{\mathbb{R}} ~|~ a \le x < b \right\} , \\[8pt] (a,~b) &:=& \left\{ x \in \tilde{\mathbb{R}} ~|~ a < x < b \right\} . \end{eqnarray} \]

\(r > 0 \)일 때 무한대를 중심으로 하는 구(sphere, ball)를 다음과 같이 정의한다. \[\begin{eqnarray} B_r (\infty ) &:=& \left( \frac{1}{r} ,~ \infty \right] ,\\[8pt] B_r (-\infty ) &:=& \left[ -\infty ,~ - \frac{1}{r} \right) , \\[8pt] \overline{B} _r (\infty ) &:=& \left[ \frac{1}{r} ,~ \infty \right] , \\[8pt] \overline{B} _r (-\infty ) &:=& \left[ -\infty ,~\frac{1}{r} \right] , \\[8pt] B_0 (\infty) &:=& \left\{ \infty \right\} ,\\[8pt] B_0 (-\infty) &:=& \left\{ -\infty \right\} ,\\[8pt] \overline{B} _0 (\infty) &:=& \left\{ \infty \right\} ,\\[8pt] \overline{B} _0 (-\infty) &:=& \left\{ -\infty \right\} . \end{eqnarray}\]

또한 \(x\in\mathbb{R}\)일 때 \[B_{\infty} (x) := \mathbb{R} ,~~ \overline{B} _{\infty} (x) := \tilde{\mathbb{R}} \] 로 정의한다.

참고로 \(B = \left\{ B_r (x) ~|~ x \in \tilde{\mathbb{R}} ,~ r > 0 \right \}\)은 \(\tilde{\mathbb{R}}\)의 위상의 기저가 된다. 이러한 위상이 주어진 집합 \(\tilde{\mathbb{R}}\)는 긴밀공간이다. 또한 \(\tilde{\mathbb{R}}\)의 부분위상공간으로서 \(\mathbb{R} \subseteq \tilde{\mathbb{R}}\)이고 \(\overline{\mathbb{R}} = \tilde{\mathbb{R}}\)이다. 즉 \(\tilde{\mathbb{R}}\)는 \(\mathbb{R}\)를 조밀한 부분집합으로 갖는 긴밀공간이다. 이러한 관점에서 \(\tilde{\mathbb{R}}\)를 \(\mathbb{R}\)의 긴밀화(compactification)라고 부른다.

2. \(\sigma\)-대수와 가측공간

직관적으로 측도란 집합의 체적을 의미한다. 또한 가측집합이란 체적을 잴 수 있는 집합을 뜻한다. 체적에 관하여 다음과 같은 성질을 기대할 수 있다.

• \(U\)와 \(V\)의 체적을 잴 수 있는 집합이면 \(U \cup V\)와 \(U \cap V\)도 체적을 잴 수 있다.
• \(U\)와 \(V\)의 체적을 잴 수 있고 \(U\)와 \(V\)가 서로소이면 \(U \cup V\)의 체적은 \(U\)의 체적과 \(V\)의 체적을 더한 것과 같다.

즉 체적을 잴 수 있는 집합들을 모아서 \(\mathfrak{M}\)이라고 하고 집합의 체적을 \(\mu\)로 나타내면 우리는 \(\mathfrak{M}\)과 \(\mu\)가 다음과 같은 성질을 가질 것이라고 기대할 수 있다.

• \(U\in\mathfrak{M} ,\) \(V\in\mathfrak{M}\)이면 \(U\cup V\in\mathfrak{M}\)이고 \(U \cap V \in\mathfrak{M}\)이다.
• \(U\in\mathfrak{M} ,\) \(V\in\mathfrak{M} ,\) \(U \cap V = \varnothing\)이면 \(\mu (U \cup V ) = \mu (U) + \mu (V) \)이다.

이와 같은 관점에서 다음 정의를 도입한다.

위 정의에서 (ⅱ)는 대수가 여집합에 대하여 닫혀 있다는 뜻이고 (ⅲ)은 대수가 가산합집합에 대하여 닫혀 있다는 뜻이다. 또한 \(\mathfrak{M}\)은 measure의 첫 글자를 딴 것이며, 'm'이라고 읽는다.

혼동할 염려가 없을 때에는 \((X,~\mathfrak{M})\)을 간단히 \(X\)로 나타낸다. 즉 '\(X\)는 가측공간이다'라고 하면 \(X\)에 적당한 \(\sigma\)-대수가 주어져 있는 것을 의미한다.

참고 2. 정의 1에서 대수(algebra)는 직관적으로 합과 차에 대하여 닫혀 있다는 뜻을 가지고 있다. 집합의 경우 대수는 합집합과 교집합에 대하여 닫혀 있다는 뜻이다. 또한 \(\sigma\)는 가산 개의 합에 대하여 성립한다는 뜻을 가지고 있다.

참고 3. \(\mathfrak{M}\)이 \(X\)의 \(\sigma\)-대수이면 \(\varnothing\in\mathfrak{M}\)이고 \(X\in\mathfrak{M}\)이다. 또한 \(\left\{ E_n \right\}\)이 \(\mathfrak{M}\)의 원소로 이루어진 수열이면 드 모르간의 법칙에 의하여 \[\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n = \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( E_{n} \right) ^{c} \right) ^{c} \in \mathfrak{M}\]이므로 \(\mathfrak{M}\)은 가산교집합에 대하여도 닫혀있다.

보기 4. \(X\)가 공집합이 아닌 집합일 때 \(\mathfrak{M} = \left\{\varnothing ,~ X \right\}\)는 \(X\)의 가장 작은 \(\sigma\)-대수이다. 또한 \(X\)의 거듭제곱집합 \(\mathcal{P} (X)\)는 \(X\)의 가장 큰 \(\sigma\)-대수이다.

\(X\)의 부분집합들의 모임을 이용하여 \(X\)의 위상을 생성할 수 있는 것처럼 \(X\)의 부분집합들의 모임을 이용하여 \(X\)의 \(\sigma\)-대수를 생성할 수 있다.

즉 \(G\)에 의하여 생성된 \(X\)의 \(\sigma\)-대수에 대하여 \(G \subseteq \sigma(G) \subseteq \mathcal{P} (X)\)이다.

3. 측도공간

지금까지 체적을 잴 수 있는 집합들의 모임을 정의하였다. 이제 집합의 체적을 정의하자.

혼동할 염려가 없을 때에는 \((X,~ \mathfrak{M} ,~ \mu )\)를 간단히 \(X\)로 나타낸다. 즉 '\(X\)는 측도공간이다'라고 하면 \(X\)에 적당한 가측집합들의 모임과 측도가 주어져 있는 것을 의미한다.

보기 8. \(X\)가 집합이고 \(\mathfrak{M}\)이 \(\sigma\)-대수라고 하자. 만약 함수 \(\mu : \mathfrak{M} \to [0,~ \infty ] \)를 \[\mu (E) = \begin{cases} n(E) \quad & \text{if}~~ E ~~ \text{is finite} \\ \\ \infty \quad & \text{if} ~~ E ~~\text{is infinite} \end{cases} \]로 정의하면 \(\mu\)는 \((X,~\mathfrak{M})\)의 측도가 된다. 이러한 측도를 셈측도(counting measure)라고 부른다. \(X\)가 유한집합인 경우 셈측도는 집합의 원소의 개수를 나타내는 함수와 같다.

보기 9. 보통위상공간 \(\mathbb{R} ^{n}\)에 보렐 \(\sigma\)-대수 \(\mathfrak{M} = \mathcal{B} ( \mathbb{R} ^{n} ) \)이 주어졌다고 하자. 이때 \(n\)차원 직사각 집합을 체적에 대응시키는 함수 \[\lambda : \left[ a_1 ,~ b_1 \right] \times \left[ a_2 ,~ b_2 \right] \times \cdots \times \left[ a_n ,~ b_n \right] \mapsto \left( b_1 - a_1 \right) \left( b_2 - a_2 \right) \cdots \left( b_n - a_n \right) \]을 확장하여 \(\mathbb{R} ^{n} \)의 측도를 구성할 수 있다. 또한 카라띠오도리(Carathéodory) 확장법에 의하여 그러한 측도의 유일성이 보장된다. 이러한 측도를 르베그 측도(Lebesgue measure)라고 부른다.

보기 10. \(X\)가 집합이고 \(x\in X\)이며 \(\mathfrak{M} = \mathcal{P} (X) \)라고 하자. 이때 \[ \delta_{x} (E) := \chi_{E} ( \left\{ x \right\}) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} ~ x \in E \\ \\ 0 \quad & \text{if} ~ x \notin E \end{cases} \]로 정의된 함수 \(\delta_{x} : \mathfrak{M} \to [0,~\infty ] \)는 \(X\)의 측도가 된다. 이러한 측도를 디랙 측도(Dirac measure) 또는 점밀도(point mass)라고 부른다.

4. 측도의 성질

이제 지금까지 정의한 측도가 우리가 기대한 성질을 가지고 있음을 보이자.

\(X\)가 집합이고 \(U\)와 \(V\)가 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(U\)와 \(V\)의 체적을 잴 수 있으면 \[ \begin{eqnarray} (\text{measure of } U \cup V) &=& (\text{measure of } U) + (\text{measure of }V) - (\text{measure of }U \cap V) \\[8pt] & \le & (\text{measure of }U)+(\text{measure of }V) \end{eqnarray}\] 가 성립한다. 만약 \(U\)와 \(V\)가 서로소이면 \[(\text{measure of }U\cup V) = (\text{measure of }U)+(\text{measure of }V)\] 가 성립한다. 또한 만약 \(U\subseteq V\)이면 \[(\text{measure of }U)\le (\text{measure of }V)\] 가 성립한다. 이러한 개념을 측도에 적용하면 다음 정리를 얻는다.

증명. (ⅰ) 가측집합과 측도의 정의에 의하여 자명하다.

증명. \(\left\{ D_n \right\}\)을 다음과 같이 정의하자. \[ \begin{eqnarray} D_1 & := & E_1 , \\ D_{n+1} & := & E_{n+1} \backslash \bigcup_{k=1}^{n} E_k \end{eqnarray} \]그러면 \(\left\{ D_n \right\}\)은 \(\mathfrak{M}\)의 원소들로 이루어진 수열이고 쌍마다 서로소이다. 또한 \[\bigcup_{n=1}^{\infty} D_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \]이고 \(D_n \subseteq E_n \)이다. 따라서 정리 11에 의하여 \[ \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} D_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu \left( D_n \right) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu \left( E_n \right) \]이 성립한다.

모든 항이 집합인 수열을 집합열(sequence of sets)이라고 부른다. 집합열도 수열과 마찬가지로 증가와 감소를 정의할 수 있으며, 극한과 수렴을 정의할 수 있다.

보기 14. \(X = \mathbb{R}\)이고 \(E_n = \left[ \frac{1}{n} ,~2 \right]\)라고 하면 \(\left\{ E_n \right\}\)은 증가열이고 \(E_n \nearrow (0,~2] \)이다.

보기 15. \(X = \mathbb{R}\)이고 \(E_n = B_{1/n} (0) \)이라고 하면 \(\left\{ E_n \right\}\)은 감소열이고 \(E_n \searrow \left\{ 0 \right\} \)이다.

실수열과 실함수의 단조수렴 정리처럼 측도에 대해서도 단조수렴 정리가 존재한다.

증명. 먼저 \(E_n \nearrow E\)인 경우를 증명하자. \(E_0 = \varnothing\)이라고 하면 \(E_k \)와 \(E\)는 다음과 같이 쌍마다 서로소인 집합들의 합집합으로 나타낼 수 있다. \[\begin{eqnarray} E_k &=& \left( E_1 \backslash E_0 \right) \cup \left( E_2 \backslash E_1 \right) \cup \left( E_3 \backslash E_2 \right) \cup \cdots \cup \left( E_k \backslash E_{k-1} \right) , \\[8pt] E &=& \left( E_1 \backslash E_0 \right) \cup \left( E_2 \backslash E_1 \right) \cup \left( E_3 \backslash E_2 \right) \cup \cdots \end{eqnarray} \] 따라서 \[\begin{eqnarray} \mu (E) &=& \sum _ {k=1}^{\infty} \mu \left( E_k \backslash E_{k-1} \right) \\ &=& \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \mu \left(E_k \backslash E_{k-1} \right) \\[8pt] &=& \lim_{n\to\infty} \mu \left( E_n \right) \end{eqnarray} \]이 성립한다.

다음으로 \(E_n \searrow E\)인 경우를 증명하자. 일반성을 잃지 않고 \(\mu \left( E_1 \right) < \infty \)라고 가정하자. 왜냐하면 만약 \(\mu \left( E_k \right) = \infty\)인 \(k\)가 존재한다면 측도가 \(\infty\)가 아닌 항들 중 가장 앞의 것부터 \(E_1\)로 두고 부분수열을 만들면 되기 때문이다. \[\left( E_1 \backslash E_n \right) \nearrow \left( E_1 \backslash E \right) \]이고 \[\mu (E) \le \mu \left( E_n \right) \le \mu \left( E_1 \right) < \infty \]이므로 \(E_n \nearrow E\)인 경우의 결과를 이용하면 다음을 얻는다. \[\begin{eqnarray} \mu \left( E_1 \right) - \mu (E) &=& \mu \left( E_1 \backslash E \right) \\[8pt] &=& \lim_{n\to\infty} \mu \left( E_1 \backslash E_n \right) \\[8pt] &=& \mu \left( E_1 \right) - \lim_{n\to\infty} \mu \left( E_n \right) . \end{eqnarray} \] 양변에서 \(\mu \left( E_1 \right) \)을 빼면 (2)를 얻는다.

참고 17. 정리 16에서 \(E_n \nearrow E\)인 경우 (2)의 성질을 아래연속(continuity from below)이라고 부르고, \(E_n \searrow E\)인 경우 (2)의 성질을 위연속(continuity from above)이라고 부른다.

5. 유한측도공간

끝으로 유한측도공간을 정의하고 이 글을 마친다.

보기 19. \(X\)가 유한집합이고 \(\mathfrak{M} = \mathcal{P} (X)\)이며 \(X\)에 셈측도 \(\mu\)가 주어져 있을 때 \((X,~\mathfrak{M} ,~ \mu )\)는 유한측도공간이다.