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a와 b가 실수이고 a < b 이며 [a, b]에 르베그 측도가 주어졌다고 하자. 그리고 f가 [a, b]로부터 R로의 함수라고 하자. 이때 다음 명제가 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 들어라.

f가 [a, b]에서 르베그 적분 가능할 필요충분조건은 [a, b]에서 리만 적분 가능한 함수 g가 존재하여 {x∈[a, b] | f(x)≠ g(x)}의 측도가 0인 것이다.

(즉 직관적으로 표현하면 "르베그 적분 가능한 함수는 리만 적분 가능한 함수와 기껏해야 측도 0인 집합 위에서만 차이난다"는 것이다.)

만약 위 문제의 반례를 제시했다면, 다음 명제의 참 또는 거짓 여부를 밝혀라.

a와 b가 실수이고 a < b 이며 [a, b]에 르베그 측도가 주어졌다고 하자. 그리고 f가 [a, b]로부터 R로의 함수라고 하자. [a, b]에서 르베그 적분 가능하면서, 그 어떤 리만 적분 가능한 함수와도 거의 모든 점에서 동일하지 않은 함수의 존재성은 선택 공리와 동치이다.

Posted by I Seul Bee

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